ОГЭ, Математика.
Уравнения и неравенства: Задача №758215

Решение задачи:

Вариант №1 (предложил пользователь Марина)
Область допустимых значений (ОДЗ):
Так как на ноль делить нельзя, то x≠2
1/(x-2)²-1/(x-2)-6=0
(1/(x-2))²-1/(x-2)-6=0
Проведем замену:
t=1/(x-2)
Получаем уравнение в следующем виде:
t²-t-6=0
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
D=(-1)²-4*1*(-6)=1+24=25
t₁=(-(-1)+5)/(2*1)=(1+5)/2=3
t₂=(-(-1)-5)/(2*1)=(1-5)/2=-2
Теперь подставим эти значения в нашу замену, сначало одно, потом второе:
1) t₁=3
1/(x-2)=3
1=3(x-2)
1=3x-6
3x=7
x₁=7/3
2) t₂=-2
1/(x-2)=-2
1=(-2)(x-2)
1=-2x+4
1=-2x+4
-3=-2x
x₂=1,5
Проверяем ОДЗ:
x≠2 - не пересакается с полученными результатами.
Ответ: x₁=7/3, x₂=1,5

---

Вариант №2
Область допустимых значений (ОДЗ):
Так как на ноль делить нельзя, то x≠2
1/(x-2)²-1/(x-2)-6=0
Приведем к общему знаменателю:
1/(x-2)²-(x-2)/(x-2)²-6(x-2)²/(x-2)²=0
(1-(x-2)-6(x-2)²)/(x-2)²=0
1-(x-2)-6(x-2)²=0 |*(-1)
6(x-2)²+(x-2)-1=0
6( x²-4x+4)+x-2-1=0
6x²-24x+24+x-3=0
6x²-23x+21=0
D=(-23)²-4*6*21=529-504=25
x₁=(23+5)/(2*6)=28/12=7/3
x₂=(23-5)/(2*6)=18/12=3/2=1,5
Полученные корни удовлетворяют ограничениям ОДЗ (x≠2).
Ответ: x₁=7/3, x₂=1,5