ЕГЭ, Математика (базовый уровень).
Уравнения и неравенства: Задача №2EFD48

Решение задачи:

Рассмотрим каждое неравенство:
A) 2^-x+1<0,5
Это неравенство содержит показательную функцию.
2^-x+1<1/2
2^-x+1<2^-1
Так как основание равно 2, т.е. больше 1, то:
-x+1<-1 (по теореме).
-x<-2, умножим неравенство на -1, не забудем, что знак меняется на противоположный.
x>2, подходит вариант 3) (2;+∞).
Б) (x-5)²/(x-4)<0
ОДЗ: x-4≠0 => x≠4
Эта дробь будет меньше нуля, когда знаменатель меньше нуля, так как числитель всегда положительный (квадрат любого числа всегда больше и равен нулю).
x-4<0
x<4, подходит вариант 4) (-∞;4).
В) log₄x>1, приведем единицу к логарифмическому виду по основанию 4.
log₄x> log₄4 (по второму свойству логарифма)
Так как основание равно 4, т.е. больше 1, то:
x>4 (по теореме)
Подходит вариант 1) (4;+∞)
Г) (x-4)(x-2)<0
Корни квадратной функции (x-4)(x-2):
x₁=4
x₂=2
Преобразуем функцию:
(x-4)(x-2)=x²-2x-4x+8=x²-6x+8
Коэффициен "а" этой функции равен 1, т.е. больше 0, следовательно ветви параболы направлены вверх.
Функция буден меньше нуля на диапазоне, когда график лежит ниже оси Х, т.е. на диапазоне от 2 до 4. Подходит вариант 2) (2;4)
Ответ: