Решение задачи:

Так как функция содержит модуль, то данную функцию надо разложить на две функции, в зависимости от значения модуля.
y=x²-9, при x²-9≥0
y=-(x²-9), при x²-9<0
Вычислим при каких значениях х функция меняет свой знак, для этого решим неравенство:
x²-9≥0
Найдем корни уравнения x²-9=0
x²-3²=0
Воспользуемся формулой разность квадратов:
(x-3)(x+3)=0
x₁=3
x₂=-3
Функция y=x²-9 будет больше нуля в диапазонах, где ее график располагается выше оси Х, и, соответственно, меньше нуля на диапазонах, когда график ниже оси Х.
Итак:
x²-9≥0, когда x∈(-∞; -3]∪[3; +∞)
x²-9<0, когда x∈(-3;3)
Значит можем переписать систему:
y=x²-9, при x ∈ (-∞; -3]∪[3; +∞)
y=-(x²-9), при x ∈ (-3; 3)
y=x²-9, при x ∈ (-∞; -3]∪[3; +∞)
y=-x²+9, при x ∈ (-3; 3)
График каждой из подфункция - парабола, но у первой параболы ветви направлены вверх (так как "а" положительный), а у второй - вниз (так как "а" отрицательный).
Построим оба графика по точкам:
1)y=x²-9, при x ∈ (-∞; -3]∪[3; +∞) (красный график):

X	-3	-4	-5	3	4	5
Y	0	7	16	0	7	16

2) y=-x²+9, при x ∈ (-3; 3) (синий график):

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
Y	0	5	8	9	8	5	0

Очевидно, что прямая, параллельная оси абсцисс будет иметь максимум 4 общие точки. Это видно на примере зеленой прямой.
Ответ: 4