Решение задачи:

Чтобы найти точки пересечения функций необходимо составить систему из этих функций и решить ее. Решением системы будут координаты точек пересечения
y=kx-4
y=x²+2x
kx-4=x²+2x
0=x²+2x-kx+4
0=x²+x(2-k)+4
Решим это квадратное уравнение:
D=(2-k)²-4*1*4=(2-k)²-16
В условии задачи сказано, что точка пересечения должна быть только одна, следовательно система должна иметь только одно решение, значит квадратное уравнение должно иметь только один корень. Следовательно, дискриминант нужно приравнять к нулю (только тогда будет только один корень):
D=(2-k)²-16=0
(2-k)²-4²=0
Применим формулу разность квадратов:
((2-k)-4)((2-k)+4)=0
(2-k-4)(2-k+4)=0
(-k-2)(-k+6)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому рассмотрим два варианта:
1) -k-2=0
k₁=-2
2) -k+6=0
k₂=6
По условию задачи нас интересует только отрицательное k, следовательно k=-2.
Т.е. уравнение прямой выглядит так:
y=-2x-4
Продолжим искать точку пересечения графиков, вернемся к уравнению:
0=x²+x(2-k)+4
0=x²+x(2-(-2))+4
0=x²+4x+4
D=0 (так как точка пересечения только одна, следовательно корень уравнения тоже должен быть только один)
x=-4/2=-2
Подставляем в любую функцию (результат будет один и тот же), но для простоты подставим в уравнение прямой:
y=-2x-4=-2(-2)-4=4-4=0
(-2; 0) - точка пересечения графиков.
Построим графики функций по точкам:
y=-2x-4 (красный график)