ОГЭ, Математика. Геометрия: Задача №116D41 | Ответ-Готов 



Юмор

Автор: Таська
Так выглядит современная программа обучения.
...читать далее

ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №116D41

Задача №36 из 1087
Условие задачи:

Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.

Решение задачи:

По условию задачи ВМ - медиана треугольника АВС, следовательно, по свойству медианы, площади треугольников АВМ и ВСМ равны, и равны половине площади треугольника АВС.
SABM=SBCM=(SABC)/2.
В свою очередь, AK является медианой для треугольника АВМ, следовательно, по тому же свойству медианы
SABК=SAKM=(SABM)/2=(SABC)/4.
Проведем отрезок СК. СК является медианой для треугольника СМВ, следовательно,
SCMK=SCKB=(SCMB)/2=(SABC)/4.
Проведем отрезок МЕ, параллельно АР. МЕ является средней линией для треугольника АРС, следовательно (по теореме о средней линии) СЕ=ЕР. А для треугольника МВЕ КР является средней линией, следовательно ВР=ЕР(=СЕ). Т.е. сторона ВС делится на три равные части точками Р и Е.
Проведем высоту h, как показано на рисунке. h является общей высотой для треугольников СКВ и СКР. Выше мы определили, что SCKB=(SABC)/4. Площадь этого же треугольника =(1/2)*h*BC. SCKP=(1/2)*h*РС=(1/2)*h*(2/3)*ВС=(2/3)*(1/2)*h*BC=(2/3)SCKB=(2/12)SABC =(1/6)SABC.
SKPCM=SCMK+SCKP=(SABC)/4+(1/6)SABC=(5/12)SABC. Следовательно отношение SKPMC к SAMK равно ((5/12)SABC)/(1/4)SABC=5/3.
Ответ: SKPMC/SAMK=5/3.

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'


Другие задачи из этого раздела



Задача №7ADF99

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=11, CK=20.



Задача №3FA31E

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=10, tgA=0,1. Найдите BC.



Задача №7CF591

В параллелограмме KLMN точка E — середина стороны LM. Известно, что EK=EN. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.



Задача №21CC51

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN=27, CM=18. Найдите CO.



Задача №EE565F

Косинус острого угла A треугольника ABC равен . Найдите sinA.

Комментарии:


(2015-05-24 11:47:05) Администратор: Олеся, высота не обязательно проходит через сам треугольник, она может лежать и вне треугольника, главное, чтобы она была перпендикулярна стороне.
(2015-05-24 07:29:55) Олеся: Я не понимаю,как h может быть высотой для СКР?
(2015-01-23 23:18:12) Администратор: Всеволод, обязательно изучу Ваш вариант и, если он окажется проще, то обязательно добавлю на сайт.
(2015-01-23 13:29:20) Всеволод: Предлагаю вариант без проведения ME. Может кому-то будет проще. Пусть x=S(ABK)=S(AKM)=S(KMC)=S(KBC) Пусть y=S(KBP), тогда S(KPC)=S(KBC)-S(KBP)=x-y Отношение их площадей S(KBP)/S(KPC)=y/(x-y) Отношение площадей S(ABP)/S(APC) будет таким же, как и S(KBP)/S(KPC), ведь у них те же основания BP и PC, только общая вершина уже в А, а не в точке K. S(ABP)/S(APС)=S(KBP)/S(KPC) Набираем площади ABP и APС в наших переменных: S(ABP)/S(APС)=(x+y)/(x+x+(x-y)) Равенство отношений площадей: (x+y)/(3x-y)=y/(x-y), откуда находим x=3y Искомое отношение площадей в наших переменных: S(KPCM)/S(AMK)=((x-y)+x)/x=((3y-y)+3y)/3y=5/3
(2014-09-24 00:20:05) : спасибо
(2014-09-24 00:20:05) : спасибо

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X

Значение не введено

X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:


Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2021. Все права защищены. Яндекс.Метрика