Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Проведем следующие отрезки (как показано на рисунке 2):
1) Из точки О2 к точке касания окружности и продолжения стороны ВС. (точка Р)
2) Из точки О1 к точке касания окружности и продолжения стороны ВС. (Точка К)
3) Из точки О1 к точке О2.
Заметим, что:
1) СМ=АС/2.
2) СР=СМ, по
второму свойству касательной.
3) СМ=СК, по
второму свойству касательной.
4) O1O2=R+r.
5) O2Р перпендикулярна BC, по
первому свойству касательной.
6) O1К тоже перпендикулярна BC, по
свойству касательной.
7) Из пунктов 2) и 3) следует, что СР=СК=СМ=АС/2. Тогда РК=АС/2+АС/2=АС.
Следовательно, O2Р ||
O1К (по
свойству параллельных прямых). Отсюда следует, что
О1О2РК - прямоугольная трапеция (по
определению трапеции).
Рассмотрим эту трапецию.
Проведем отрезок О2Е параллельный РК, а раз он параллелен РК, то в свою очередь перпендикулярен О1К и равен ему. Следовательно получившийся треугольник O1O2Е -
прямоугольный.
Тогда, по
теореме Пифагора, мы можем записать: (O1O2)2=(O2Е)2+(O1Е)2.
Подставим известные нам данные, полученные ранее:
(R+r)2=AC2+(R-r)2. Раскрываем скобки, получаем:
R2+2Rr+r2=AC2+R2-2Rr+r2
2Rr=AC2-2Rr
4Rr=AC2
r=(AC2)/4R
r=122/4*8
r=144/4*8, r=4,5
Ответ: радиус вписанной окружности равен 4,5.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
В треугольнике ABC известно, что AC=54, BM — медиана, BM=43. Найдите AM.
Сторона равностороннего треугольника равна 18√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги AB.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90°, то эти две прямые параллельны.
2) В любой треугольник можно вписать окружность.
3) Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:7:8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2016-09-01 13:14:52) Администратор: Александра, можно, рисунки добавлены.
(2016-08-22 15:56:46) Александра: А можно ли посмотреть рисунок к третьему свойству касатальной?
(2015-11-29 19:15:42) Администратор: Ксения, я не понял, а в чем разница между моим решением и Вашим?
(2015-11-24 00:13:26) Администратор: Ксения, я не понял, а в чем разница между моим решением и Вашим?
(2015-11-23 13:23:00) Ксения: А так правильно?: PC=CK=CM=6 Проведем О2Е - перпендикуляр к О1К. O2РКЕ-прямоугольник ,значит О2Е=РК=12 Тогда, по теореме Пифагора, мы можем записать: (O1O2)2=(O2Е)2+(O1Е)2.(R+r)2=144+(R-r)2. (R+r)2-(R-r)2=144. ((R+r)+(R-r))((R+r)-(R-r))=144 2R*2r=144 16 *2r=144 32r=144 r=4,5 .