Решение задачи:

Отметим Область допустимых Значений (ОДЗ).
На ноль делить нельзя, следовательно:
9x²+x≠0
x(9x+1)≠0
x₁≠0
9x+1≠0
9x≠-1
x₂≠-1/9
Т.е. x не может равняться 0 и -1/9.
Теперь упростим нашу функцию:

Получили простую гиперболическую функцию, значит график - гипербола.
Построим график по точкам:

X	-3	-2	-1	1	2	3
Y	-1/3	-1/2	-1	1	1/2	1/3

Не забываем выколоть точки из ОДЗ, где x=0 и x=-1/9.
Прямая y=kx обязательно проходит через центр координат, так как при x=0, "y" тоже равен нулю (y=k*0=0).
Если попробовать провести любую прямую через центр координат, то ставится очевидным, что или прямая пересекает график в двух точках, или вообще не пересекает график.
Только когда прямая проходит через выколотую точку, получается, что прямая пересекается с графиком (т.е. имеет общую точку) в одной единственной точке (с противоположной стороны от выколотой).
Зеленая прямая - это и есть y=kx.
Найдем координаты выколотой точки (когда x=-1/9):
y=1/x=1/(-1/9)=-9
(-1/9;-9) - искомые координаты, эта же точка принадлежит прямой, следовательно:
-9=k(-1/9) |*(-1)
9=k(1/9)
k=9/(1/9)=9*9=81
Ответ: k=81.