ОГЭ, Математика.
Функции: Задача №78259D

Задача №141 из 287
Условие задачи:

Постройте график функции y=2x+6|x|-x² и определите, при каких значениях c прямая y=c имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение задачи:

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:
y=2x+6x-x², при x≥0
y=2x+6(-x)-x², при x<0
8x-x², при x≥0
y=-4x-x², при x<0
Исследуем каждую подфункцию:
1) y=8x-x²
Это квадратичная функция, следовательно график - парабола. Коэффициент а=-1 (т.е. меньше нуля), следовательно ветви параболы направлены вниз. Найдем точки пересечения графика с осью Х, для этого решим уравнение 8x-x²=0
x(8-x)=0
x₁=0
x₂=8
2) y=-4x-x²
Это квадратичная функция, следовательно график - парабола. Коэффициент а=-1 (т.е. меньше нуля), следовательно ветви параболы направлены вниз. Найдем точки пересечения графика с осью Х, для этого решим уравнение -4x-x²=0
x(-4-x)=0
x₁=0
x₂=-4
Построим график для каждой подфункции и объединим их.
1) y₁=8x-x², при x≥0 (красный график)

X	0	2	4	6
Y	0	12	16	12

2) y₂=-4x-x², при x<0 (синий график)

X	0	-1	-2	-3	-4
Y	0	3	4	3	0

y=c имеет с графиком ровно три общие точки в двух случаях, как показано на рисунке (зеленые прямые).
Очевидно, что с₁=0.
Чтобы найти с₂ надо определить координаты вершины синей параболы.
x₀=-b/2a=-(-4)/(2*(-1))=-2 - это координата "х" вершины параболы
y₀(-2)=-4*(-2)-(-2)²=8-4=4 - это координата "y" вершины параболы.
c₂=4
Ответ: с₁=0, c₂=4

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...