Решение задачи:

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:
y=x²-5x+6, при x≥0
y=x²-5(-x)+6, при x<0
y=x²-5x+6, при x≥0
y=x²+5x+6, при x<0
Рассмотрим и построим график для каждой подфункции на определенном им диапазонах и объединим их.
График обеих подфункций - парабола, при чем, ветви параболы направлены вверх (так как коэффициент "а" больше нуля).
Для первой подфункции (красная):

X	0	1	2	3	4
Y	6	2	0	0	2

Для второй подфункции (синяя):

X	0	-1	-2	-3	-4
Y	6	2	0	0	2

Зеленым цветом проведена некая прямая y=m (в данном случае m=3).
Очевидно, что наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс равно 4 (как для зеленой прямой).
Ответ: 4