ОГЭ, Математика.
Функции: Задача №3CF702

Задача №143 из 287
Условие задачи:

Постройте график функции y=|x|(x-1)-3x и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение задачи:

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:
y=x(x-1)-3x, при x≥0
y=(-x)(x-1)-3x, при x<0
y=x²-x-3x, при x≥0
y=-x²+x-3x, при x<0
y=x²-4x, при x≥0
y=-x²-2x, при x<0
Рассмотрим и построим график для каждой подфункции и объединим их.
1) y=x²-4x, при x≥0
Графиком данной подфункции является парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, так как коэффициент при x² положительный.
Найдем корни уравнения x²-4x=0
x(x-4)=0
x₁=0
x-4=0
x₂=4
Построим график по точкам:

X	0	1	2	3	4
Y	0	-3	-4	-3	0

2) y=-x²-2x, при x<0
Графиком данной подфункции является парабола. Ветви этой параболы направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицательный.
Найдем корни уравнения -x²-2x=0
-x(x+2)=0
x₁=0
x+2=0 => x₂=-2
Построим график по точкам:

X	0	-1	-2	-3
Y	0	1	0	-3

Красный график: y=x²-4x, при x≥0
Синий график: y=-x²-2x, при x<0
Зеленые прямые: y=m
Как видно, две точки пересечения будет только когда прямая будет касаться вершин парабол.
Найдем координату Y вершин парабол.
1) Для первой подфункции
x₀=-b/(2a)=-(-4)/(2*1)=4/2=2
y₀=2²-4*2=4-8=-4
2) Для второй подфункции
x₀=-b/(2a)=-(-2)/(2*(-1))=2/(-2)=-1
y₀=-(-1)²-2*(-1)=-1+2=1
Ответ: m₁=-4, m₂=1

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...