ОГЭ, Математика.
Функции: Задача №FC018C

Задача №142 из 287
Условие задачи:

Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение задачи:

Запишем Область Допустимых Значений (ОДЗ).
Так как на ноль делить нельзя, то x²-x-2≠0
Найдем такие х, для этого решим квадратное уравнение x²-x-2=0
D=(-1)²-4*1*(-2)=1+8=9
x₁=(-(-1)+3)/(2*1)=4/2=2
x₂=(-(-1)-3)/(2*1)=-2/2=-1
Правильно будет написать, что x≠2 и x≠-1
Упростим данную функцию, для этого разложим все 3 квадратных уравнения на множители. Каждое квадратное уравнение (если у него есть корни) можно представить в виде (x-x₁)(x-x₂), где x₁ и x₂ - корни этого уравнения.
Знаменатель мы уже сейчас можем разложить на множители:
x²-x-2=(x-2)(x-(-1))=(x-2)(x+1)
Разложим x²-3x+2
D=(-3)²-4*1*2=9-8=1
x₁=(-(-3)+1)/(2*1)=4/2=2
x₂=(-(-3)-1)/(2*1)=2/2=1
Получаем:
x²-3x+2=(x-2)(x-1)
Разложим x²+3x+2
D=3₂-4*1*2=9-8=1
x₁=(-3+1)/(2*1)=-2/2=-1
x₂=(-3-1)/(2*1)=-4/2=-2
x²+3x+2=(x-(-1))(x-(-2))=(x+1)(x+2)
В итоге получаем:

Построим график (красный) этой функции по точкам:

X	-3	-2	-1	0	1	2
Y	4	0	-2	-2	0	4

Выкалываем точки из ОДЗ, когда x=-1 и x=2.
Зеленым цветом проведены прямые, которые имеют только одну общую точку с нашим графиком: это прямые, проходящие через выколотые точки, и прямая, касающаяся вершины параболы.
В таблице мы уже вычислили выколотые точки, поэтому m₁=-2, m₂=4.
Вычислим координаты вершины параболы (x₀;y₀).
x₀ вычисляется по формуле x₀=-b/(2a)=-1/(2*1)=-0,5
y₀(x₀)=x₀²+x₀-2=(-0,5)²-0,5-2=0,25-2,5=-2,25 - это и есть m₃
Ответ: m₁=4, m₂=-2, m₃=-2,25

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...