ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №8EAAA5

Решение задачи:

BM - медиана треугольника АВС, следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника ( свойство медианы).
S_ABM=S_CMB=S_ABC/2
Рассмотрим треугольник ABM.
S_ABK+S_AKM=S_ABM=S_ABC/2
AP - биссектриса, по теореме о биссектрисе можно записать AM/AB=KM/BK.
По условию задачи AC втрое больше AB, следовательно, AM в 1,5 раза больше АВ (т.к. является половиной АС)
KM/BK=1,5. Т.к. площадь треугольника вычисляется по формуле S=1/2*h*a, где а-основание и h-высота, то можем записать:
S_AKM=1/2*h*KM=1/2*h*(1,5*BK),
S_AKM=1/2*h*(3/2*BK)=3/2*(1/2*h*BK)=3/2*S_ABK (т.к. высота h для этих треугольников общая)
S_ABK+S_AKM=S_ABM=S_ABC/2
S_ABK+3/2*S_ABK=S_ABC/2
5/2*S_ABK=S_ABC/2
S_ABK=S_ABC/5
По тому же свойству биссектрисы для треугольника ABC получаем, что AC/AB=CP/PB
AC/AB=3 (по условию задачи), следовательно, CP=3*PB
S_APC=1/2*h*PC=1/2*h*(3*PB)=3*(1/2*h*PB)=3*S_ABP,
S_ABP+S_APC=S_ABC
S_ABP+3*S_ABP=S_ABC
S_ABP=S_ABC/4
Далее найдем площадь треугольника BPK:
S_BPK=S_ABP-S_ABK
Ранее мы нашли, что S_ABK=S_ABC/5
S_BPK=S_ABC/4-S_ABC/5=S_ABC/20
Найдем площадь четырехугольника KPCM:
S_KPCM=S_CMB-S_BKP
S_KPCM=S_ABC/2-S_ABC/20, (площадь CMB мы нашли ранее),
S_KPCM=9/20*S_ABC
Отношение площадей ABK к KPCM =(S_ABC/5)/(9/20*S_ABC)=4/9
Ответ: отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM=4/9.