ОГЭ, Математика. Геометрия: Задача №1380DA | Ответ-Готов 



Юмор

Автор: Таська
Так выглядит современная программа обучения.
...читать далее

ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №1380DA

Задача №40 из 1084
Условие задачи:

Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.

Решение задачи:

Вариант №1 (Предложил пользователь Елена)
Проведем отрезок MP, как показано на рисунке. BM - диаметр малой окружности (по условию задачи), следовательно треугольник BMP - прямоугольный с гипотенузой BM (по свойству описанной окружности).
К тому же, по условию задачи, точка Р - середина стороны BC, т.е. BM - серединный перпендикуляр к стороне BC.
Проведем серединный перпендикуляр к стороне AC, как показано на рисунке.
Центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров треугольника, а в данном случае - это точка М, т.е. точка М и есть центр описанной окружности.
Так как получилось, что центр окружности лежит на стороне описываемого треугольника, то AM и MC - радиусы данной окружности и равны R=AC/2=4/2=2.
Ответ: 2


Вариант №2
Рассмотрим рисунок. Проведем отрезок MP, как показано на рисунке. BM - диаметр малой окружности (по условию задачи), следовательно треугольник BMP - прямоугольный с гипотенузой BM (по свойству описанной окружности).
Рассмотрим треугольники BMP и CPM:
MP - общая сторона
BP=PC (по условию задачи)
/BPM=/CPM, т.к. /BPM - прямой, а /CPM - ему смежный.
Следовательно треугольники BMP и CPM равны (по первому признаку). Отсюда следует, что BM=MC=MA.
Рассмотрим треугольник BMC. Т.к. MB=MC, то этот треугольник равнобедренный, следовательно /MCP=/PBM (по свойству равнобедренных треугольников).
В треугольнике ABM аналогичная ситуация, /BAM=/ABM. Т.е. получается, что /BAM+/MCP=/ABC. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, 180°=/BAM+/MCP+/ABC
180°=/ABC+/ABC
180°=2*/ABC
90°=/ABC
Из чего следует, что треугольник ABC - прямоугольный. По свойству описанной окружности следует, что точка М - центр окружности => R=AC/2=4/2=2. Ответ: R=2.

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'


Другие задачи из этого раздела



Задача №D7D925

Сторона ромба равна 20, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?



Задача №E8391B

Сторона ромба равна 22, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?



Задача №656C84

Площадь прямоугольного треугольника равна 9683/3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.



Задача №26768F

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 67. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.



Задача №4F0B29

Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 25° и 40° соответственно.

Комментарии:


(2017-01-17 23:52:32) Администратор: cdtbdn, Мы не помогаем решить домашнее задание, цель сайта - подробно разобрать задачи, которые будут на экзаменах, чтобы учащиеся научились их решать самостоятельно. Если найдете похожую задачу на сайте fipi.ru, пишите, обязательно добавим.
(2017-01-17 10:34:25) cdtbdn : ответы решить задачу по геометрии на рисунке an паролейна bm и an = bm. докажите что треугольник and = треугольнику bmd с ответами и решением
(2016-02-14 18:05:00) Администратор: Виктория, почти все правильно, кроме последнего предложения. В условии не сказано, в первом решении мы это выяснили исходя из серединных перпендикуляров, а во втором решении мы выяснили, что треугольник ABC прямоугольный, а (по свойству описанной окружности) центр описанной вокруг прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, т.е. в точке М. Вот поэтому АМ=МС=ВМ=R=2.
(2016-02-11 18:55:41) Виктория: Правильное ли рассуждение у меня? Из т.М опустим перпендикуляр к т.Р. Отрезок МР делит ВС пополаам и перпендикулярен ему. Рассмотрим треугольники ВМР и МРС. Т.к. МР - общая сторона, углы ВРМ и МРС - прямые (равны), и по условию ВР=РС, след-но треугольники ВМР и МРС равны.Поэтому ВМ =МС. Т.к. окружность с центром в т.М явл-ся описанной вокруг треугольника АВС,тт.АВС лежат на окружности и равноудалены от т.М, то АМ=МС=ВМ=R=2
(2015-05-28 14:13:14) Анна: спасибо
(2015-05-08 21:55:32) Елена: Спасибо
(2015-05-03 22:53:26) Администратор: Елена, я добавил Ваш вариант решения на сайт. Спасибо за интересный подход.
(2015-04-10 02:43:36) Елена: Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Доказали, что РМ серединный перпендикуляр к стороне ВС. Точка пересечения РМ и серединного перпендикуляра к стороне АС лежит на прямой, проходящей через точку М. А это и есть точка М. М - центр окружности, описанной около треугольника АВС, значит радиус равен 2.
(2014-05-28 13:47:33) Администратор: Ольга, да действительно, у меня уже "глаз замылился"...
(2014-05-28 11:27:59) Ольга: Так вроде это признак: равенство угла и пропорциональность сторон, к нему прилежащих (относятся как 1 к 2, т.к. М и Р середины). Впрочем я не настаиваю
(2014-05-28 10:29:20) Администратор: Ольга, к сожалению, в 9-ом классе далеко не все ученики могут думать даже на два шага вперед (я сужу по вопросам, какие они задают), поэтому доказывать подобие нужно только через признаки подобия. Ваше доказательство идет через определение подобия, причем двух-ходовое. Поэтому думаю, что большинству пользователей будет непонятно. Успехов Вашему ребенку на экзаменах!!!
(2014-05-28 09:45:50) Ольга: Насчет подобия мне кажется понять не трудно. Насчет учителя математики - нет, я - мама ученика, который собирается сдавать ГИА по математике. Так что приходится участвовать в процессе и вспоминать подзабытое
(2014-05-27 19:34:31) Администратор: Ольга, я понял Вашу мысль, но боюсь, что пользователям будет трудно понять это подобие, Вы так не думаете? А Вы случайно не учитель математики?
(2014-05-27 19:30:34) Ольга: Нет, всё-таки CPM
(2014-05-27 19:26:00) Ольга: Извините, ошиблась, вместо CPM - BPM
(2014-05-27 14:17:27) Ольга: После того как доказали, что треугольник СРМ - прямоугольный, надо написать что он подобен треугольнику АВС, по углу С - общий угол, и двум сторонам ( Р - середина ВС, М -середина АС), следовательно угол В - прямой

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X

Значение не введено

X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:


Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2019. Все права защищены. Яндекс.Метрика