Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.
По условию задачи ВМ -
медиана треугольника АВС, следовательно, по
свойству медианы,
площади треугольников АВМ и ВСМ равны, и равны половине площади треугольника АВС.
SABM=SBCM=(SABC)/2.
В свою очередь, AK является медианой для треугольника АВМ, следовательно, по тому же
свойству медианы
SABК=SAKM=(SABM)/2=(SABC)/4.
Проведем отрезок СК.
СК является
медианой для треугольника СМВ, следовательно,
SCMK=SCKB=(SCMB)/2=(SABC)/4.
Проведем отрезок МЕ, параллельно АР.
МЕ является
средней линией для треугольника АРС, следовательно (по
теореме о средней линии) СЕ=ЕР. А для треугольника МВЕ
КР является
средней линией, следовательно ВР=ЕР(=СЕ). Т.е. сторона ВС делится на три равные части точками
Р и Е.
Проведем
высоту h, как показано на рисунке. h является общей высотой для треугольников СКВ и СКР.
Выше мы определили, что SCKB=(SABC)/4. Площадь этого же треугольника =(1/2)*h*BC.
SCKP=(1/2)*h*РС=(1/2)*h*(2/3)*ВС=(2/3)*(1/2)*h*BC=(2/3)SCKB=(2/12)SABC
=(1/6)SABC.
SKPCM=SCMK+SCKP=(SABC)/4+(1/6)SABC=(5/12)SABC.
Следовательно отношение SKPMC к SAMK равно ((5/12)SABC)/(1/4)SABC=5/3.
Ответ: SKPMC/SAMK=5/3.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=24, BF=32.
В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны CD. Известно, что MA=MB. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=4, AB=5. Найдите sinB.
Укажите номера верных утверждений.
1) Если один из углов треугольника прямой, то треугольник прямоугольный.
2) Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
3) Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 5 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2015-05-24 11:47:05) Администратор: Олеся, высота не обязательно проходит через сам треугольник, она может лежать и вне треугольника, главное, чтобы она была перпендикулярна стороне.
(2015-05-24 07:29:55) Олеся: Я не понимаю,как h может быть высотой для СКР?
(2015-01-23 23:18:12) Администратор: Всеволод, обязательно изучу Ваш вариант и, если он окажется проще, то обязательно добавлю на сайт.
(2015-01-23 13:29:20) Всеволод: Предлагаю вариант без проведения ME. Может кому-то будет проще. Пусть x=S(ABK)=S(AKM)=S(KMC)=S(KBC) Пусть y=S(KBP), тогда S(KPC)=S(KBC)-S(KBP)=x-y Отношение их площадей S(KBP)/S(KPC)=y/(x-y) Отношение площадей S(ABP)/S(APC) будет таким же, как и S(KBP)/S(KPC), ведь у них те же основания BP и PC, только общая вершина уже в А, а не в точке K. S(ABP)/S(APС)=S(KBP)/S(KPC) Набираем площади ABP и APС в наших переменных: S(ABP)/S(APС)=(x+y)/(x+x+(x-y)) Равенство отношений площадей: (x+y)/(3x-y)=y/(x-y), откуда находим x=3y Искомое отношение площадей в наших переменных: S(KPCM)/S(AMK)=((x-y)+x)/x=((3y-y)+3y)/3y=5/3
(2014-09-24 00:20:05) : спасибо
(2014-09-24 00:20:05) : спасибо