Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.
По условию задачи ВМ -
медиана треугольника АВС, следовательно, по
свойству медианы,
площади треугольников АВМ и ВСМ равны, и равны половине площади треугольника АВС.
SABM=SBCM=(SABC)/2.
В свою очередь, AK является медианой для треугольника АВМ, следовательно, по тому же
свойству медианы
SABК=SAKM=(SABM)/2=(SABC)/4.
Проведем отрезок СК.
СК является
медианой для треугольника СМВ, следовательно,
SCMK=SCKB=(SCMB)/2=(SABC)/4.
Проведем отрезок МЕ, параллельно АР.
МЕ является
средней линией для треугольника АРС, следовательно (по
теореме о средней линии) СЕ=ЕР. А для треугольника МВЕ
КР является
средней линией, следовательно ВР=ЕР(=СЕ). Т.е. сторона ВС делится на три равные части точками
Р и Е.
Проведем
высоту h, как показано на рисунке. h является общей высотой для треугольников СКВ и СКР.
Выше мы определили, что SCKB=(SABC)/4. Площадь этого же треугольника =(1/2)*h*BC.
SCKP=(1/2)*h*РС=(1/2)*h*(2/3)*ВС=(2/3)*(1/2)*h*BC=(2/3)SCKB=(2/12)SABC
=(1/6)SABC.
SKPCM=SCMK+SCKP=(SABC)/4+(1/6)SABC=(5/12)SABC.
Следовательно отношение SKPMC к SAMK равно ((5/12)SABC)/(1/4)SABC=5/3.
Ответ: SKPMC/SAMK=5/3.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Найдите угол ABC . Ответ дайте в градусах.
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
Какое из следующих утверждений верно?
1) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Сторона ромба равна 32, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
В треугольнике АВС углы А и С равны 30° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2015-05-24 11:47:05) Администратор: Олеся, высота не обязательно проходит через сам треугольник, она может лежать и вне треугольника, главное, чтобы она была перпендикулярна стороне.
(2015-05-24 07:29:55) Олеся: Я не понимаю,как h может быть высотой для СКР?
(2015-01-23 23:18:12) Администратор: Всеволод, обязательно изучу Ваш вариант и, если он окажется проще, то обязательно добавлю на сайт.
(2015-01-23 13:29:20) Всеволод: Предлагаю вариант без проведения ME. Может кому-то будет проще. Пусть x=S(ABK)=S(AKM)=S(KMC)=S(KBC) Пусть y=S(KBP), тогда S(KPC)=S(KBC)-S(KBP)=x-y Отношение их площадей S(KBP)/S(KPC)=y/(x-y) Отношение площадей S(ABP)/S(APC) будет таким же, как и S(KBP)/S(KPC), ведь у них те же основания BP и PC, только общая вершина уже в А, а не в точке K. S(ABP)/S(APС)=S(KBP)/S(KPC) Набираем площади ABP и APС в наших переменных: S(ABP)/S(APС)=(x+y)/(x+x+(x-y)) Равенство отношений площадей: (x+y)/(3x-y)=y/(x-y), откуда находим x=3y Искомое отношение площадей в наших переменных: S(KPCM)/S(AMK)=((x-y)+x)/x=((3y-y)+3y)/3y=5/3
(2014-09-24 00:20:05) : спасибо
(2014-09-24 00:20:05) : спасибо