Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.
По условию задачи ВМ -
медиана треугольника АВС, следовательно, по
свойству медианы,
площади треугольников АВМ и ВСМ равны, и равны половине площади треугольника АВС.
SABM=SBCM=(SABC)/2.
В свою очередь, AK является медианой для треугольника АВМ, следовательно, по тому же
свойству медианы
SABК=SAKM=(SABM)/2=(SABC)/4.
Проведем отрезок СК.
СК является
медианой для треугольника СМВ, следовательно,
SCMK=SCKB=(SCMB)/2=(SABC)/4.
Проведем отрезок МЕ, параллельно АР.
МЕ является
средней линией для треугольника АРС, следовательно (по
теореме о средней линии) СЕ=ЕР. А для треугольника МВЕ
КР является
средней линией, следовательно ВР=ЕР(=СЕ). Т.е. сторона ВС делится на три равные части точками
Р и Е.
Проведем
высоту h, как показано на рисунке. h является общей высотой для треугольников СКВ и СКР.
Выше мы определили, что SCKB=(SABC)/4. Площадь этого же треугольника =(1/2)*h*BC.
SCKP=(1/2)*h*РС=(1/2)*h*(2/3)*ВС=(2/3)*(1/2)*h*BC=(2/3)SCKB=(2/12)SABC
=(1/6)SABC.
SKPCM=SCMK+SCKP=(SABC)/4+(1/6)SABC=(5/12)SABC.
Следовательно отношение SKPMC к SAMK равно ((5/12)SABC)/(1/4)SABC=5/3.
Ответ: SKPMC/SAMK=5/3.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=44, SQ=16.
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 164. Найдите стороны треугольника ABC.
Площадь круга равна 88. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 45°.
Сторона ромба равна 30, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
, где mc — медиана к стороне c; a, b, c — стороны треугольника. В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника в 4/3 раза меньше суммы квадратов его сторон: 
, где ma, mb, mc медианы к соответствующим сторонам треугольника, a, b, c — стороны треугольника. 
Автор: Таська
Комментарии:
(2015-05-24 11:47:05) Администратор: Олеся, высота не обязательно проходит через сам треугольник, она может лежать и вне треугольника, главное, чтобы она была перпендикулярна стороне.
(2015-05-24 07:29:55) Олеся: Я не понимаю,как h может быть высотой для СКР?
(2015-01-23 23:18:12) Администратор: Всеволод, обязательно изучу Ваш вариант и, если он окажется проще, то обязательно добавлю на сайт.
(2015-01-23 13:29:20) Всеволод: Предлагаю вариант без проведения ME. Может кому-то будет проще. Пусть x=S(ABK)=S(AKM)=S(KMC)=S(KBC) Пусть y=S(KBP), тогда S(KPC)=S(KBC)-S(KBP)=x-y Отношение их площадей S(KBP)/S(KPC)=y/(x-y) Отношение площадей S(ABP)/S(APC) будет таким же, как и S(KBP)/S(KPC), ведь у них те же основания BP и PC, только общая вершина уже в А, а не в точке K. S(ABP)/S(APС)=S(KBP)/S(KPC) Набираем площади ABP и APС в наших переменных: S(ABP)/S(APС)=(x+y)/(x+x+(x-y)) Равенство отношений площадей: (x+y)/(3x-y)=y/(x-y), откуда находим x=3y Искомое отношение площадей в наших переменных: S(KPCM)/S(AMK)=((x-y)+x)/x=((3y-y)+3y)/3y=5/3
(2014-09-24 00:20:05) : спасибо
(2014-09-24 00:20:05) : спасибо