Решение задачи:

Проведем через точку F высоту трапеции h.
Высота h делится точкой F пополам, т.к. располагается на средней линии, а средняя линия делит стороны трапеции пополам.
Таким образом получается, что высота обоих треугольников равна h/2.
Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание треугольника.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
S_BFC=(h/2)*BC/2
S_AFD=(h/2)*AD/2
S_BFC+S_AFD=(h/2)*BC/2+(h/2)*AD/2=(h/2)(BC+AD)/2=(h*(BC+AD)/2)/2=S_ABCD/2