Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 39 и 42, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Проведем несколько отрезков:
EH - радиус малой окружности. Он перпендикулярен AB (по
свойству касательной).
FG - радиус большой окружности. Он перпендикулярен AB (по
свойству касательной).
HG - отрезок, соединяющий центры окружностей и равный R+r, так как он проходит через точку К.
Рассмотрим треугольники AFG и AEH:
∠EAH - общий;
углы AEH и AFG - прямые.
Следовательно эти треугольники
подобны, тогда:
FG/EH=AG/AH
FG/EH=(AH+HG)/AH
42/39=(AH+R+r)/AH
42AH=39(AH+81)
42AH-39AH=3159
AH=1053
sin∠EAH=EH/AH=39/1053=1/27
AK=AH+r=1053+39=1092
AK перпендикулярен BC, т.к. AK - это продолжение большого и малого радиусов, а BC -
касательная к малой окружности (
свойство касательной). AK делит хорду BC (BC - хорда для большой окружности) пополам (по второму
свойству хорды).
Треугольник ABC -
равнобедренный, т.к. AK - и
медиана и
высота (
свойство равнобедренного треугольника).
Теперь уберем из рисунка все, что нас больше не интересует и резюмируем, что мы знаем:
AK=1092
sinα=1/27
Так как AK -
биссектриса, то центр описанной окружности находится на AK.
Найдем AB.
По
теореме Пифагора:
AB2=AK2+BK2
AB2=AK2+(AB*sinα)2
AB2-AB2*sin2α=10922
AB2(1-1/272)=10922
AB2(272-1)=272*10922
AB2=272*10922/(272-1)
Рассмотрим треугольник AOB.
AO=OB, так как это радиусы окружности, следовательно данный треугольник
равнобедренный.
Проведем высоту ON, в
равнобедренном треугольнике она так же является и
медианой (по
свойству равнобедренного треугольника).
sinα=ON/AO => ON=AO/27
По теореме
Пифагора:
AO2=ON2+AN2
AO2=AO2/272+(AB/2)2
AO2((272-1)/272)=272*10922/(272-1)
Закончив все вычисления, получаем, что AO=546,75
Ответ: Радиус описанной окружности равен 546,75.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что AB⊥IJ.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2) Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.
3) Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб.
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=10:9. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника ABC.
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные
50° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма.
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Комментарии:
(2015-05-26 10:50:39) Денис: Я нашел ошибку. ближе к концу там должно быть АВ пополам, а не просто.!!!
(2015-05-26 10:24:03) Решение не верно: при нахождении синуса угла. проверьте.
(2015-04-19 17:44:00) Администратор: Татьяна, да, не пригодился это отрезок, изначально решение было немного другим, где он был нужен...
(2015-04-19 14:09:59) Татьяна: Для чего был проведен отрезок HI?
(2014-05-29 18:57:59) Екатерина: Спасибо большое за решение