ОГЭ, Математика.
Функции: Задача №0D3070

Задача №280 из 285
Условие задачи:

Постройте график функции y=|x|(x+1)-6x.
Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение задачи:

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:
y=x(x+1)-6x, при x≥0
y=(-x)(x+1)-6x, при x<0

y=x²+x-6x, при x≥0
y=-x²-x-6x, при x<0

y=x²-5x, при x≥0
y=-x²-7x, при x<0

Рассмотрим и построим график для каждой подфункции и объединим их.
1) y=x²-5x, при x≥0
Графиком данной подфункции является парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, так как коэффициент при x² положительный.
Найдем корни уравнения x²-5x=0
x(x-5)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому рассмотрим два случая:
1) x₁=0
2) x-5=0
x₂=5
Построим график по точкам:

X	0	1	2	3
Y	0	-4	-6	-6

2) y=-x²-7x, при x<0
Графиком данной подфункции является парабола. Ветви этой параболы направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицательный.
Найдем корни уравнения -x²-7x=0
-x(x+7)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому рассмотрим два случая: 1) x₁=0
2) x+7=0 => x₂=-7
Построим график по точкам:

X	0	-1	-2	-3	-4
Y	0	6	10	12	12

Красный график: y=x²-5x, при x≥0
Синий график: y=-x²-7x, при x<0
Зеленые прямые: y=m
Как видно, две точки пересечения будет только когда прямая будет касаться вершин парабол.
Найдем координату Y вершин парабол.
1) Для первой подфункции
x₀=-b/(2a)=-(-5)/(2*1)=5/2=2,5
y₀=2,5²-5*2,5=6,25-12,5=-6,25
2) Для второй подфункции
x₀=-b/(2a)=-(-7)/(2*(-1))=7/(-2)=-3,5
y₀=-(-3,5)²-7*(-3,5)=-12,25+24,5=12,25
Ответ: m₁=-6,25, m₂=12,25

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...