Из вершины прямого угла C треугольника
ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен 4/3. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле R=(AC+CB-AB)/2. Для этого необходимо вычислить длины всех сторон данного треугольника.
Рассмотрим треугольник ABC.
По
определению tgBAC=CB/AC=4/3 => AC=3*CB/4=0,75*CB.
По
теореме Пифагора AB2=AC2+CB2
AB2=(0,75*CB)2+CB2
AB2=1,5625*CB2
AB=1,25*CB
Необходимо вычислить CB.
По
теореме о сумме углов треугольника для треугольника ABC:
/ABC=180°-90°-/BAC
Для треугольника BCP:
/ABC=180°-90°-/BCP
Следовательно, /BAC=/BCP.
Рассмотрим треугольник BCP.
По
определению tgBCP=BP/CP=4/3 => CP=3*BP/4=0,75*BP.
По
теореме Пифагора CB2=CP2+BP2
CB2=(0,75*BP)2+BP2
CB2=1,5625*BP2
CB=1,25*BP
BP=0,8*CB
r=(BP+CP-CB)/2
2*r=BP+0,75*BP-CB
2*8=1,75*BP-CB
16=1,75*0,8*CB-CB
16=0,4*CB
CB=40
Вычислив CB, мы можем вычислить AB и AC, указанные выше:
AB=1,25*CB=1,25*40=50
AC=0,75*CB=0,75*40=30
R=(AC+CB-AB)/2, тогда получаем:
R=(30+40-50)/2=10.
Ответ: R=10.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=6 и BC=4. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?
Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что AB⊥IJ.
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны CD. Известно, что EA=EB. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2015-10-13 13:48:55) Администратор: Светлана, да, видимо к этому задача и сводится, но я не могу найти теорему (определение, свойство), в котором бы утверждалось, что в подобных треугольниках отношение сторон равно отношению радиусов вписанных окружностей. А если это нигде не доказано, то принимать это как данность нельзя. Может быть Вы подскажите, где искать?
(2015-10-11 19:13:12) Светлана: проще решить задачу через подобие треугольников:АСВ и СРВ,найти синусА (чрез тангенс найти косинус,затем синус)отношение подобных сторон равно синусу= отношение радиусов