ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №AEA79E

Задача №187 из 1087
Условие задачи:

Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AMK.

Решение задачи:

По условию задачи ВМ - медиана треугольника АВС, следовательно, по свойству медианы, площади треугольников АВМ и ВСМ равны, и равны половине площади треугольника АВС.
S_ABM=S_BCM=(S_ABC)/2.
В свою очередь, AK является медианой для треугольника АВМ, следовательно, по тому же свойству медианы
S_ABК=S_AMK=(S_ABM)/2=(S_ABC)/4.
Проведем отрезок СК. СК является медианой для треугольника СМВ, следовательно,
S_CMK=S_CKB=(S_CMB)/2=(S_ABC)/4.
Проведем отрезок МЕ, параллельно АР. МЕ является средней линией для треугольника АРС, следовательно (по теореме о средней линии) СЕ=ЕР. А для треугольника МВЕ КР является средней линией, следовательно ВР=ЕР(=СЕ). Т.е. сторона ВС делится на три равные части точками Р и Е.
Проведем высоту h, как показано на рисунке. h является общей высотой для треугольников СКВ и BКР. Выше мы определили, что S_CKB=(S_ABC)/4. Площадь этого же треугольника =(1/2)*h*BC. S_BKP=(1/2)*h*BP=(1/2)*h*(1/3)*ВС=(1/3)*(1/2)*h*BC=(1/3)S_CKB=(1/12)S_ABC.
Следовательно отношение S_BKP к S_AMK равно (1/12)/(1/4)=1/3.
Ответ: S_BKP/S_AMK=1/3.