Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 9 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Проведем следующие отрезки (как показано на рисунке 2):
1) Из точки О2 к точке касания окружности и продолжения стороны ВС. (точка Р)
2) Из точки О1 к точке касания окружности и продолжения стороны ВС. (Точка К)
3) Из точки О1 к точке О2.
Заметим, что:
1) СМ=АС/2.
2) СР=СМ, по
второму свойству касательной.
3) СМ=СК, по
второму свойству касательной.
4) O1O2=R+r.
5) O2Р перпендикулярна AC, по
первому свойству касательной.
6) O1К тоже перпендикулярна AC, по
свойству касательной.
7) Из пунктов 2) и 3) следует, что СР=СК=СМ=АС/2. Тогда РК=АС/2+АС/2=АС.
Следовательно, O2Р ||
O1К (по
свойству параллельных прямых). Отсюда следует, что
О1О2РК - прямоугольная трапеция (по
определению трапеции).
Рассмотрим эту трапецию.
Проведем отрезок О2Е параллельный РК, а раз он параллелен РК, то в свою очередь перпендикулярен О1К и равен ему. Следовательно получившийся треугольник O1O2Е -
прямоугольный.
Тогда, по
теореме Пифагора, мы можем записать: (O1O2)2=(O2Е)2+(O1Е)2.
Подставим известные нам данные, полученные ранее:
(R+r)2=AC2+(R-r)2. Раскрываем скобки, получаем:
R2+2Rr+r2=AC2+R2-2Rr+r2
2Rr=AC2-2Rr
4Rr=AC2
r=(AC2)/4R
r=102/(4*7,5)
r=10*10/(4*9)
r=5*5/9
r=25/9
r=2 целых 7/9
Ответ: радиус вписанной окружности равен 2 целых 7/9.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 136. Найдите стороны треугольника ABC.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
2) Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна
180°, то эти прямые параллельны.
3) Площадь треугольника не превышает произведения двух его сторон.
В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 55°. Найдите величину угла ODC.
Точка О – центр окружности, /BOC=50° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).
Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 1,6 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м?
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии: