Решение задачи:

Проведем следующие отрезки (как показано на рисунке 2):
1) Из точки О₂ к точке касания окружности и продолжения стороны ВС. (точка Р)
2) Из точки О₁ к точке касания окружности и продолжения стороны ВС. (Точка К)
3) Из точки О₁ к точке О₂.
Заметим, что:
1) СМ=АС/2.
2) СР=СМ, по второму свойству касательной.
3) СМ=СК, по второму свойству касательной.
4) O₁O₂=R+r.
5) O₂Р перпендикулярна AC, по первому свойству касательной.
6) O₁К тоже перпендикулярна AC, по свойству касательной.
7) Из пунктов 2) и 3) следует, что СР=СК=СМ=АС/2. Тогда РК=АС/2+АС/2=АС.
Следовательно, O₂Р || O₁К (по свойству параллельных прямых). Отсюда следует, что О₁О₂РК - прямоугольная трапеция (по определению трапеции). Рассмотрим эту трапецию.
Проведем отрезок О₂Е параллельный РК, а раз он параллелен РК, то в свою очередь перпендикулярен О₁К и равен ему. Следовательно получившийся треугольник O₁O₂Е - прямоугольный.
Тогда, по теореме Пифагора, мы можем записать: (O₁O₂)²=(O₂Е)²+(O₁Е)².
Подставим известные нам данные, полученные ранее:
(R+r)²=AC²+(R-r)². Раскрываем скобки, получаем:
R²+2Rr+r²=AC²+R²-2Rr+r²
2Rr=AC²-2Rr
4Rr=AC²
r=(AC²)/4R
r=10²/(4*7,5)
r=10*10/(4*9)
r=5*5/9
r=25/9
r=2 целых 7/9
Ответ: радиус вписанной окружности равен 2 целых 7/9.