ОГЭ, Математика.
Функции: Задача №112FB9

Задача №145 из 287
Условие задачи:

Постройте график функции y=4|x-3|-x²+8x-15 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение задачи:

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две функции, в зависимости от значения модуля:
|x-3|=x-3, при x-3≥0 (т.е. x≥3)
|x-3|=-(x-3), при х-3<0 (т.е. х<3)
Тогда вся функция будет выглядеть так:
4(x-3)-x²+8x-15, при x≥3
-4(x-3)-x²+8x-15, при x<3
4x-12-x²+8x-15, при x≥3
-4x+12-x²+8x-15, при x<3
-x²+12x-27, при x≥3
-x²+4x-3, при x<3
График обеих подфункций - парабола, у обеих подфункций коэффициент "а" равен -1, т.е. меньше нуля. Следовательно, ветви обеих парабол направлены вниз.
Построим по точкам графики обеих подфункций, но первый график на диапазоне от 3 до +∞, а второй график на диапазоне от -∞ до 3 (как указано в системе).
Подункция y=-x²+12x-27 (Красный график)

X	3	4	5	6	7	8	9
Y	0	5	8	9	8	5	0

Функция y=-x²+4x-3 (Синий график)

X	3	2	1
Y	0	1	0

Три общие точки с прямой y=m будут только в двух случаях, как показано на рисунке: когда прямая проходит через точку излома функции - m₁=0, и когда прямая касается вершины синей параболы m₂ - надо вычислить координату y вершины.
x₀=-b/2a=-4/(2*(-1))=2
y₀=-2²+4*2-3=-4+8-3=1 - это и есть m₂.
Ответ: m₁=0, m₂=1

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...