ОГЭ, Математика.
Функции: Задача №34C6D0

Задача №270 из 287
Условие задачи:

Постройте график функции
y=3|x+7|-x²-13x-42.
Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение задачи:

В данной функции присутствует модуль, следовательно функцию надо разложить на две функции, в зависимости от значения модуля:
|x+7|=x+7, при x+7≥0 (т.е. x≥-7)
|x+7|=-(x+7), при х+7<0 (т.е. х<-7)
Тогда вся функция будет выглядеть так:
3(x+7)-x²-13x-42, при x≥-7
-3(x+7)-x²-13x-42, при x<-7

3x+21-x²-13x-42, при x≥-7
-3x-21-x²-13x-42, при x<-7

-x²-10x-21, при x≥-7
-x²-16x-63, при x<-7

График обеих подфункций - парабола, у обеих подфункций коэффициент "а" равен -1, т.е. меньше нуля. Следовательно, ветви обеих парабол направлены вниз.
Построим по точкам графики обеих подфункций, но первый график на диапазоне от -7 до +∞, а второй график на диапазоне от -∞ до -7 (как указано в системе).
Подфункция y₁=-x²-10x-21 (Красный график)

X	-7	-6	-5	-4	-3
Y	0	3	4	3	0

Подфункция y₂=-x²-16x-63 (Синий график)

X	-7	-8	-9	-10
Y	0	1	0	-3

Три общие точки с прямой y=m будут только в двух случаях:
1) Когда прямая проходит через точку "излома" функции, как показано на рисунке, когда x=-7. Значение функции в этой точке равно 0 (мы это вычислили в таблице точек), т.е. и m₁=0.
2) Когда прямая касается вершины синей функции, т.е. нам надо найти координаты вершины для второй подфункции:
x₀=-b/2a=-(-16)/(2*(-1))=16/(-2)=-8
y₀=1 (тоже вычислили в таблице).
Т.е. m₂=1.
Ответ: m₁=0, m₂=1

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...