ОГЭ, Математика.
Уравнения и неравенства: Задача №4CA219

Решение задачи:

Вариант №1 (Предложил пользователь Людмила)
Это равенство будет выполняться тогда и только тогда, когда x²-9=0 и x²-2x-15=0.
Пояснение: оба этих слагаемых возведены в квадрат, следовательно, будут всегда положительные. А сумма двух положительный чисел может быть равна нулю только, когда эти оба числа равны нулю.
Получаем систему уравнений:

Решим по отдельности каждое уравнение, а одинаковые корни этих уравнений и будут решением системы.
1) x²-9=0
Можно решить это квадратное уравнение через дискриминант, но в данном случае выберем путь проще, воспользуемся формулой разность квадратов:
x²-3²=0
(x-3)(x+3)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
x-3=0 => x₁=3
x+3=0 => x₂=-3
2) x²-2x-15=0
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
D=(-2)²-4*1*(-15)=4+60=64
x₁=(-(-2)+8)/(2*1)=(2+8)/2=5
x₂=(-(-2)-8)/(2*1)=(2-8)/2=-3
Для обоих уравнений x=-3 является общим корнем, это и есть решение системы и первоначального уравнения.
Ответ: -3

---

Вариант №2
Раскрывать скобки не имеет смысла, так как получим уравнение четверной степени, а его непонятно как решать.
Попробуем разложить на множители вторую скобку, для этого найдем корни квадратного уравнения в скобке через дискриминант:
x²-2x-15=0
D=(-2)²-4*1*(-15)=4+60=64
x₁=(-(-2)+8)/(2*1)=(2+8)/2=5
x₂=(-(-2)-8)/(2*1)=(2-8)/2=-3
Любую, имеющую корни, квадратичную функцию (ax²+bx+c) можно представить в виде множителей:
ax²+bx+c=(x-x₁)(x-x₂)
Следовательно:
x²-2x-15=(x-5)(x-(-3))=(x-5)(x+3)
Тогда наше уравнение выглядит теперь так:
(x²-9)²+((x-5)(x+3))²=0
Для выражения в первой скобке применим формулу разность квадратов:
(x²-3²)²+((x-5)(x+3))²=0
((x-3)(x+3))²+((x-5)(x+3))²=0
(x-3)²(x+3)²+(x-5)²(x+3)²=0
Вынесем (x+3)² за скобку:
(x+3)²((x-3)²+(x-5)²)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому рассмотрим два варианта:
1) (x+3)²=0
x+3=0
x₁=-3
2) (x-3)²+(x-5)²=0
Раскрываем скобки по формуле квадрат разности:
x²-2*x*3+3²+x²-2*x*5+5²=0
x²-6x+9+x²-10x+25=0
2x²-16x+34=0 |:2
x²-8x+17=0
Решаем через дискриминант:
D=(-8)²-4*1*17=64-68=-4
Дискриминант меньше нуля, следовательно уранение (x-3)²+(x-5)²=0 не имеет корней.
Значит остался только корень, найденный в п.1.
Ответ: -3