ОГЭ, Математика.
Алгебраические выражения: Задача №0246C9

Решение задачи:

Вариант №1 (предложил пользователь Татьяна)
То, что вершины обеих парабол располагаюся по одну сторону от оси Х, означает, что координата "y" обоих вершин или положительна (когда обе вершины находятся выше оси Х), или отрицательна (когда обе вершины находятся ниже оси Х).
Координату "х" можно найти по формуле:
x₀=-b/(2a)
Координату "y" можно найти, подставив x₀ в функцию.
Тогда для первой функции у=–х²+4mх–m:
x₀₁=-b/(2a)=-4m/(2(-1))=-4m/(-2)=2m
Подставляем значение x₀₁ в функцию:
y₀₁=–х²+4mх–m=–(2m)²+4m(2m)–m=–4m²+8m²–m=4m²–m
Для второй функции у=х²+2mх–2:
x₀₂=-b/(2a)=-2m/(2*1)=-2m/2=-m
Подставляем значение x₀₂ в функцию:
y₀₂=х²+2mх–2=(-m)²+2m(-m)–2=m²-2m²–2=-m²–2
Рассмотрим два варианта, когда оба значения больше нуля и, когда меньше нуля.
1) Когда обе вершины над осью Х:
y₀₁=4m²–m>0
y₀₂=-m²–2>0
4m²>m
-2>m²
Посмотрим на второе неравенство -2>m² - это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого числа всегда положителен и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа.
Следовательно вся система не имеет решений.
2) Когда обе вершины под осью Х:
4m²–m<0
-m²–2<0 домножим левую и правую части неравенства на (-1), не забываем, что при этом меняется знак неравенства на противоположный
m(4m-1)<0
m²+2>0
Чтобы решить первое неравенство найдем корни уравнения m(4m-1)=0
m₁=0
m₂=1/4=0,25
Первое неравенство верно на диапазоне (0; 0,25)
Решим второе неравенство:
m²+2>0
m²>-2
Второе неравенство верно при любых m, т.к. квадрат любого числа всегда больше нуля.
Следовательно, решение данного неравенства диапазон (-∞;+∞)
Пересекаем решения обоих неравенств, получаем решение системы неравенств:
m⊂(0; 0,25)
Ответ: m⊂(0; 0,25)

---

Вариант №2
Рассмотрим предложенные квадратные уравнения:
В первом уравнении а=-1, т.е. меньше 0, значит ветви этой параболы смотрят вниз;
во-втором уравнении а=1, т.е. больше 0, значит ветви смотрят вверх.
Возможны два варианта:
1) Первый график пересекает ось х, а второй не пересекает, как на рисунке 1.
2) Первый график не пересекает ось х, а второй пересекает, как на рисунке 2.
Рассмотрим каждый вариант:
1) Чтобы график первой функции пересекал ось х, уравнение должно иметь корни, следовательно, дискриминант этого уравнения должен быть больше нуля. А дискриминант второго, соответственно, меньше нуля.
D₁=(4m)²-4(-1)(-m)=16m²-4m>0
D₂=(2m)²-4*1(-2)=4m²+8<0
Решим эту систему неравенств:
16m²-4m>0
4m²+8<0
4m²-m>0
m²+2<0
Посмотрим внимательно на второе неравенство, m²+2 ни при каких m не может быть меньше нуля, следовательно система не имеет решений.
Т.е. первый вариант (как на рисунке 1) не подходит.
2) Чтобы график первой функции не пересекал ось х, уравнение не должно иметь корней, следовательно, дискриминант этого уравнения должен быть меньше нуля. А дискриминант второго, соответственно, больше нуля.
D₁=(4m)²-4(-1)(-m)=16m²-4m<0
D₂=(2m)²-4*1(-2)=4m²+8>0
Решим эту систему неравенств:
16m²-4m<0
4m²+8>0
4m²-m<0
m²+2>0
m(4m-1)<0
m²+2>0
Чтобы решить первое неравенство найдем корни уравнения m(4m-1)=0
m₁=0
m₂=1/4=0,25
Первое неравенство верно на диапазоне (0; 0,25)
Решим второе неравенство:
m²+2>0
m²>-2
Второе неравенство верно при любых m, т.к. квадрат любого числа всегда больше нуля.
Следовательно, решение данного неравенства диапазон (-∞;+∞)
Пересекаем решения обоих неравенств, получаем решение системы неравенств:
m⊂(0; 0,25)
Ответ: m⊂(0; 0,25)