ОГЭ, Математика.
Функции: Задача №57BBD1

Задача №140 из 287
Условие задачи:

Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение задачи:

Область Допустимых Значений (ОДЗ).
x≠0 (так как делить на ноль нельзя).
Так как функция содержит модуль, то ее надо разложить на две подфункции:

Теперь найдем для каких х , а для каких х
Найдем эти диапазоны:

Дробь больше нуля в двух случаях:
1) Когда и числитель и знаменатель больше нуля.
2) Когда и числитель и знаменатель меньше нуля.
Эта же дробь будет меньше нуля на всех остальных диапазонах.
Рассмотрим первый вариант:
x²-4²≥0
4x>0

Чтобы решить систему неравенств нужно решить каждое неравенство по отдельности и пересечь полученные диапазоны.
x²-4²≥0
x>0

Диапазон второго неравенства (0;+∞), а диапазон для первого неравенства найдем, решив уравнение x²-4²=0
Воспользуемся формулой разность квадратов:
(x-4)(x+4)=0
x₁=4
x₂=-4
Коэффициент а=1, т.е. больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Значит диапазон для первого неравенства:
(-∞;-4]∪[4;+∞).
Пересекаем с диапазоном второго неравенства:
(-∞;-4]∪[4;+∞)∩(0;+∞)=[4;+∞)
Рассмотрим второй случай, когда и числитель и знаменатель меньше нуля.
x²-4²<0
4x<0

x²-4²<0
x<0
Эту систему решать не будем, а возьмем "обратные" диапазоны, т.е. для первого неравенства диапазон будет (-4;4), а для второго (-∞;0).
Пересекаем диапазоны:
(-4;4)∩(-∞;0)=(-4;0)
В итоге мы получили, что:
x/4-4/x≥0 на диапазонах (-4;0) и [4;+∞)
Следовательно:
x/4-4/x<0 на диапазонах (-∞;-4) и (0;4).

Построим график функции y₁=x/4, при x∈(-4;0) и [4;+∞) - это прямая:
Выкалываем точку x=0 (из ОДЗ).

X	-4	0	4
Y	-1	0	1

Вторая функция:
y₂=4/x, при x∈(-∞;-4) и (0;4) - это гипербола:

X	-8	-4	1	2	4
Y	-0,5	-1	4	2	1

Объединяем графики

Только одна общая точки будет в трех случаях, в точках "перелома" графика, они отмечены на рисунке (это точки -4 и 4) и при x=0. Но x=0 - выколотая точка, поэтому этот вариант отбрасываем.

Подставим эти точки в функцию и получим значения m.
m₁=y(-4)=-1
m₂=y(4)=1
Ответ: m₁=-1 и m₂=1

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №09C87C

На рисунке изображена функция вида y=ax²+bx+c. Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.
УТВЕРЖДЕНИЯ
А) Функция возрастает на промежутке
Б) Функция убывает на промежутке
ПРОМЕЖУТКИ
1) [0;3]
2) [-1;1]
3) [2;4]
4) [1;4]

Задача №A97226

На рисунке изображён график квадратичной функции y=f(x).
Какие из следующих утверждений о данной функции являются верными? Запишите их номера.
1) f(-1)=f(5)
2) Функция убывает на промежутке [2; +∞)
3) f(x)>0 при x<-1 и при x>5

Задача №B4AAAD

На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной — давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 620 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.