Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 20, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Проведем отрезок, параллельный основаниям, как показано на рисунке.
EF -
средняя линия трапеции, так как соединяет середины боковых сторон трапеции (по
теореме Фалеса).
∠ADE=∠DEF (так как это
накрест-лежащие углы при параллельных прямых EF и AD и секущей ED).
Получается, что ∠DEF=∠EDF (так как DE -
биссектриса).
Значит треугольник EFD -
равнобедренный (по
свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, EF=FD (по
определению).
EF=FD=CD/2=20/2=10
EF=(BC+AD)/2=10
(2+AD)/2=10
2+AD=20
AD=18
Проведем
высоты как показано на рисунке.
MN=BC=3 (т.к. BCNM -
прямоугольник).
BM=CN=h
Обозначим AM как x, для удобства.
AD=AM+MN+ND
18=x+2+ND
ND=16-x
Для треугольника ABM запишем
теорему Пифагора:
AB2=h2+x2
122=h2+x2
h2=144-x2
Для треугольника CDN запишем
теорему Пифагора:
CD2=h2+ND2
202=h2+(16-x)2
400=h2+(16-x)2
Подставляем вместо h2 значение из первого уравнения:
400=144-x2+(16-x)2
400-144=-x2+162-2*16*x+x2
256=162-2*16*x |:16
16=16-2x
2x=0
x=0, получается, что BM совпадает со стороной AB, т.е. AB является высотой трапеции.
Тогда площадь трапеции равна:
S=AB(AD+BC)/2=12(18+2)/2=6*20=120
Ответ: 120
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Какие из следующих утверждений верны?
1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Площадь параллелограмма
ABCD равна 56. Точка E — середина стороны
CD. Найдите площадь трапеции AECB.
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38°, 78° и 64°.
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные
25° и 110°. Найдите меньший угол параллелограмма.
В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что треугольники A1BC1 и ABC подобны.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии: