ОГЭ, Математика. Геометрия: Задача №56A917 | Ответ-Готов 



Юмор

Автор: Таська
Так выглядит современная программа обучения.
...читать далее

ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №56A917

Задача №726 из 1087
Условие задачи:

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 164. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение задачи:

Вариант №1
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=164/2=82.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(164*82)/2=82*82=6724
SABE=(BE*AO)/2=(164*82)/2=6724
Т.е. SABE=SEDC=SEDB=6724
Тогда, SABС=3*6724=20172
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
SABD=(AD*BO)/2=SABC/2
(164*BO)/2=20172/2
BO=20172/164=123
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1232+822
AB2=15129+6724=21853
AB=21853=1681*13=4113
BC=2AB=2*4113=8213
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=164-123=41
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=822+412=6724+1681=8405
AE=8405=5*1681=415
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
8213/4113=CE/(415)
2=CE/(415)
CE=825
AC=AE+CE=415+825=1235
Ответ: AB=4113, BC=8213, AC=1235


Вариант №2 (Предложил Всеволод).
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD и AO=OD=AD/2=164/2=82.
Проведём через точку C прямую, параллельную AD. Продлим BA и BE до пересечения с этой прямой в точках F и G соответственно.
AF=AB (по теореме Фалеса. AD и FC параллельны и разбивают BC на два отрезка 1:1, т.е. на равные отрезки, следовательно и BF они разобьют на равные отрезки).
Тогда получается, что:
AF=AB=BD=CD
Т.е. получается равнобедренный треугольник BCF со средней линией AD и медианами BG и CA, которые в точке пересечения E делятся в отношении 2:1 считая от вершин (по свойству медианы).
BE=164 (по условию задачи)
EG=BE/2=164/2=82
BG=BE+EG=164+82=246
BO=OG=BG/2=246/2=123
Рассмотрим треугольник ABO.
Он прямоугольный (по условию задачи), тогда по теореме Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1232+822
AB2=15129+6724
AB2=21853
AB=21853=1681*13=4113
BC=2AB=2*4113=8213
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=OG-EG=123-82=41.
AOE тоже прямоугольный, следовательно по теореме Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=822+412
AE2=6724+1681=8405
AE=8405=1681*5=415
EC=2AE=2*415=825 (мы ранее выяснили, что медианы делятся в отношении 2:1 начиная от вершины)
AC=AE+EC=415+825=1235
Ответ: AB=4113, BC=8213, AC=1235

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'


Другие задачи из этого раздела



Задача №0DD35B

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 15, а основание BC равно 3. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.



Задача №A7F300

В трапеции ABCD AB=CD, ∠BDA=10° и ∠BDC=109°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.



Задача №AC6760

Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.



Задача №F33966

В треугольнике ABC AC=35, BC=515, угол C равен 90∘. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.



Задача №060EC8

В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=BC, AD=CD, ∠B=100° , ∠D=104°. Найдите угол A . Ответ дайте в градусах.

Комментарии:



Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X

Значение не введено

X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:


Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2021. Все права защищены. Яндекс.Метрика