2015-03-01
Автор: Анна
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 8 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
По
свойству касательной:
OF - радиус окружности, т.к. OF проходит через центр окружности и перпендикулярен
касательной AC.
AG=AF
BG=BH=x
CH=CF=y
AF найдем по
теореме Пифагора:
AO2=AF2+OF2
252=AF2+72
625=AF2+49
AF2=576
AF=24=AG
EH -
высота параллелограмма. EH=OH+OE=7+8=15
SABC=p*r, где p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.
p=(AB+BC+AC)/2.
Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
AD=BC и AB=CD (по
свойству параллелограмма).
AC - общая сторона.
Следовательно, по
третьему признаку равенства треугольников, данные треугольники равны.
Тогда:
SABCD=2*SABC
И в тоже время SABCD=EH*AD.
Приравняем полученные равенства:
p*r=EH*AD/2
(AB+BC+AC)/2*r=EH*BC/2
(AG+GB+BH+HC+CF+AF)*r=EH*(BH+HC)
(24+x+x+y+y+24)*7=15*(x+y)
(48+2x+2y)*7=15*(x+y)
336+7(2x+2y)=15*(x+y)
336+14(x+y)=15*(x+y)
336=x+y
x+y=BC=AD
SABCD=EH*AD=15*336=5040
Ответ: SABCD=5040
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Комментарии:
(2014-05-27 05:11:17) Алид: Узкое место: центр окружности O лежит на прямой EH. Мне это не кажется очевидным фактом. Если это не так, то решение некорректно. С уважением - Алид. Спасибо за решение
(2014-05-27 15:06:25) Администратор: Алид, центр окружность обязательно лежит на EH. Смотрите, OE - расстояние от центра до AD, поэтому OE перпендикулярен AD. OH - радиус, проведенный к касательной BC, следовательно OH перпендикулярен BC. AD||BC, следовательно EH - прямая.
(2014-06-03 19:02:25) : спасибо!
(2015-02-13 22:04:11) Лариса.: Спасибо Вам большое за ваш сайт. Вопрос по этой задаче. А почему ОF равен 7?
(2015-02-13 22:10:27) Лариса.: Ой поняла, это же расстояние от точки О до прямых.
(2015-02-14 10:57:06) Лариса.: Ой поняла, это же расстояние от точки О до прямых.
(2015-02-14 11:07:15) Администратор: Лариса, очень рад, что Вы разобрались самостоятельно.
(2017-03-01 16:40:49) Алевтина: Спасибо,красивое решение
(2017-03-24 02:40:33) Елена: Подобная задача с трапецией как решается ?
(2017-03-25 19:26:01) Администратор: Елена, все зависит от трапеции: обычная, прямая или равнобокая...
(2017-03-31 09:02:01) Иван: спасибо за помощь в решении задачи