В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 8 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
По
свойству касательной:
OF - радиус окружности, т.к. OF проходит через центр окружности и перпендикулярен
касательной AC.
AG=AF
BG=BH=x
CH=CF=y
AF найдем по
теореме Пифагора:
AO2=AF2+OF2
252=AF2+72
625=AF2+49
AF2=576
AF=24=AG
EH -
высота параллелограмма. EH=OH+OE=7+8=15
SABC=p*r, где p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.
p=(AB+BC+AC)/2.
Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
AD=BC и AB=CD (по
свойству параллелограмма).
AC - общая сторона.
Следовательно, по
третьему признаку равенства треугольников, данные треугольники равны.
Тогда:
SABCD=2*SABC
И в тоже время SABCD=EH*AD.
Приравняем полученные равенства:
p*r=EH*AD/2
(AB+BC+AC)/2*r=EH*BC/2
(AG+GB+BH+HC+CF+AF)*r=EH*(BH+HC)
(24+x+x+y+y+24)*7=15*(x+y)
(48+2x+2y)*7=15*(x+y)
336+7(2x+2y)=15*(x+y)
336+14(x+y)=15*(x+y)
336=x+y
x+y=BC=AD
SABCD=EH*AD=15*336=5040
Ответ: SABCD=5040
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 24, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.
Укажите номера верных утверждений.
1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.
2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
3) Из двух хорд окружности больше та, середина которой находится дальше от центра окружности.
Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 40° соответственно.
В треугольнике со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2017-03-31 09:02:01) Иван: спасибо за помощь в решении задачи
(2017-03-25 19:26:01) Администратор: Елена, все зависит от трапеции: обычная, прямая или равнобокая...
(2017-03-24 02:40:33) Елена: Подобная задача с трапецией как решается ?
(2017-03-01 16:40:49) Алевтина: Спасибо,красивое решение
(2015-02-14 11:07:15) Администратор: Лариса, очень рад, что Вы разобрались самостоятельно.
(2015-02-14 10:57:06) Лариса.: Ой поняла, это же расстояние от точки О до прямых.
(2015-02-13 22:10:27) Лариса.: Ой поняла, это же расстояние от точки О до прямых.
(2015-02-13 22:04:11) Лариса.: Спасибо Вам большое за ваш сайт. Вопрос по этой задаче. А почему ОF равен 7?
(2014-06-03 19:02:25) : спасибо!
(2014-05-27 15:06:25) Администратор: Алид, центр окружность обязательно лежит на EH. Смотрите, OE - расстояние от центра до AD, поэтому OE перпендикулярен AD. OH - радиус, проведенный к касательной BC, следовательно OH перпендикулярен BC. AD||BC, следовательно EH - прямая.
(2014-05-27 05:11:17) Алид: Узкое место: центр окружности O лежит на прямой EH. Мне это не кажется очевидным фактом. Если это не так, то решение некорректно. С уважением - Алид. Спасибо за решение