ОГЭ, Математика. Геометрия: Задача №18AC0E | Ответ-Готов 



Юмор

Автор: Таська
Так выглядит современная программа обучения.
...читать далее

ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №18AC0E

Задача №475 из 1084
Условие задачи:

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 27, тангенс угла BAC равен 9/40. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

Решение задачи:

Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле R=(AC+CB-AB)/2. Для этого необходимо вычислить длины всех сторон данного треугольника.
Рассмотрим треугольник ABC.
По определению tgBAC=CB/AC=9/40 => AC=40*CB/9.
По теореме Пифагора AB2=AC2+CB2
AB2=(40*CB/9)2+CB2
AB2=1600*CB2/81+CB2
AB2=1681*CB2/81
AB=41*CB/9
Необходимо вычислить CB.
По теореме о сумме углов треугольника для треугольника ABC:
/ABC=180°-90°-/BAC
Для треугольника BCP:
/ABC=180°-90°-/BCP
Следовательно, /BAC=/BCP.
Рассмотрим треугольник BCP.
По определению tgBCP=BP/CP=9/40 => CP=40*BP/9.
По теореме Пифагора CB2=CP2+BP2
CB2=(40*BP/9)2+BP2
CB2=1600*BP2/81+BP2
CB2=1681*BP2/81
CB=41*BP/9
BP=9*CB/41
r=(BP+CP-CB)/2
2*r=BP+40*BP/9-CB
2*27=49*BP/9-CB
54=(49/9)*9*CB/41-CB
54=49*CB/41-CB
54=8*CB/41
CB=54*41/8=276,75
Вычислив CB, мы можем вычислить AB и AC, указанные выше:
AB=41*CB/9=41*276,75/9=1260,75
AC=40*CB/9=40*276,75/9=1230
R=(AC+CB-AB)/2, тогда получаем:
R=(1230+276,75-1260,75)/2
R=246/2=123
Ответ: R=123.

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'


Другие задачи из этого раздела



Задача №FF0BCC

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.



Задача №CC1B07

Какие из следующих утверждений верны?
1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) Диагонали ромба равны.
3) Тангенс любого острого угла меньше единицы.



Задача №F985E1

Человек, рост которого равен 2 м, стоит на расстоянии 3,5 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 1 м. Определите высоту фонаря (в метрах).



Задача №62A6F0

Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.



Задача №EB47E1

От столба к дому натянут провод длиной 15 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 12 м.

Комментарии:


(2015-05-14 16:59:53) Администратор: Елена, я обязательно уточню еще раз эту информацию, спасибо.
(2015-05-13 01:18:56) Елена: И, кстати , решение задачи 573 как раз должно опираться на этот факт. В подобных треугольниках высоты, проведённые к соответственным сторонам, пропорциональны с тем же коэффициентом, что и коэффициент подобия этих треугольников. А вот факт, что отрезок СF(так вроде бы) является серединным перпендикуляром не доказан.
(2015-05-13 00:58:04) Елена: Я абсолютно согласна со Светланой. В подобных треугольниках все соответственные отрезки: высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанной и описанной окружностей и т.д. относятся, как коэффициент подобия. Это доказанный факт. Это отмечено и в учебнике Атанасяна, и в учебнике Погорелова, и в учебнике Александрова
(2015-01-05 00:12:51) Администратор: Светлана, я согласен, что Ваше решение верно, но в решении можно опираться только на определения, аксиомы и теоремы. Поэтому надо математически показать утверждение "Поэтому и радиусы как вписанной, так и описанной окружностей в подобных треугольниках будут изменятся по коэффициенту подобия", просто так на него опираться нельзя...
(2015-01-04 20:06:17) Светлана: ВС и АВ - это гипотенузы рассматриваемых треугольников, поэтому их отношение равно коэффициенту подобия.
(2015-01-04 20:04:38) Светлана: Из подобия треугольников следует, что все отрезки одного подобного треугольника увеличиваются (или уменьшаются) в одно и тоже количество раз, соответственно коэффициенту подобия. (Как и на фотографии при ее увеличении/уменьшении при сохранении пропорций). Поэтому и радиусы как вписанной, так и описанной окружностей в подобных треугольниках будут изменятся по коэффициенту подобия.
(2014-09-26 14:48:58) Администратор: Светлана, я внимательно рассмотрел Ваше решение и возник один вопрос: почему из подобия треугольников следует утверждение, что BC:АВ = r1:r2? Эту пропорцию надо еще математически вывести, или есть соответствующая теорема?
(2014-07-31 10:31:11) Светлана: Еще раз о решении этой задачи. Рассмотрим треугольник ABC - он прямоугольный. Так как tgBAC=9/40=BC/AC. Обозначим BC=9x, AC=40x. По теореме Пифагора найдем AB. AB^2=BC^2+AC^2. AB=41x. Рассмотрим Треугольники АВС и BCP - они подобны по двум углам. Прямой угол и угол В- общий ADC - Поэтому BC:АВ = r1:r2 то есть r2=(41х*27):9х=123.
(2014-05-30 09:19:51) Администратор: Светлана, я рассмотрю Ваш вариант решения, если он окажется проще, то обязательно внесу его на сайт. Спасибо большое!
(2014-05-30 07:20:43) Светлана: Очень сложное решение. Достаточно найти через тангенс стороны треугольника АВС 40х, 9х и 41х. треугольники АВС и СРВ подобны, поэтому СВ:АВ = r1:r2 то есть r2=(41х*27):9х=123.

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X

Значение не введено

X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:


Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2019. Все права защищены. Яндекс.Метрика