ОГЭ, Математика.
Функции: Задача №FD51C3

Задача №246 из 287
Условие задачи:

Постройте график функции y=|x|(x+1)-5x.
Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение задачи:

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:
y=x(x+1)-5x, при x≥0
y=(-x)(x+1)-5x, при x<0

y=x²+x-5x, при x≥0
y=-x²-x-5x, при x<0

y=x²-4x, при x≥0
y=-x²-6x, при x<0

Рассмотрим и построим график для каждой подфункции и объединим их.
1) y=x²-4x, при x≥0
Графиком данной подфункции является парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, так как коэффициент при x² положительный.
Найдем корни уравнения x²-4x=0
x(x-4)=0
x₁=0
x-4=0
x₂=4
Построим график по точкам:

X	0	1	2	3	4
Y	0	-3	-4	-3	0

2) y=-x²-6x, при x<0
Графиком данной подфункции является парабола. Ветви этой параболы направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицательный.
Найдем корни уравнения -x²-6x=0
-x(x+6)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому рассмотрим два случая: 1) x₁=0
2) x+6=0 => x₂=-6
Построим график по точкам:

X	0	-1	-2	-3
Y	0	5	8	9

Красный график: y=x²-4x, при x≥0
Синий график: y=-x²-6x, при x<0
Зеленые прямые: y=m
Как видно, две точки пересечения будет только когда прямая будет касаться вершин парабол.
Найдем координату Y вершин парабол.
1) Для первой подфункции
x₀=-b/(2a)=-(-4)/(2*1)=4/2=2
y₀=2²-4*2=4-8=-4
2) Для второй подфункции
x₀=-b/(2a)=-(-6)/(2*(-1))=6/(-2)=-3
y₀=-(-3)²-6*(-3)=-9+18=9
Ответ: m₁=-4, m₂=9

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...