ОГЭ, Математика.
Алгебраические выражения: Задача №D69F19

Решение задачи:

Так как есть деление, то запишем Область Допустимых Значений (ОДЗ).
x≠0 (так как делить на ноль нельзя).
Так как функция содержит модуль, то ее надо разложить на две подфункции:




Теперь найдем для каких х , а для каких х
Найдем эти диапазоны:

Дробь больше нуля в двух случаях:
1) Когда и числитель и знаменатель больше нуля.
2) Когда и числитель и знаменатель меньше нуля.
Эта же дробь будет меньше нуля на всех остальных диапазонах.
Рассмотрим первый вариант:
x²-4²≥0
4x>0

Чтобы решить систему неравенств нужно решить каждое неравенство по отдельности и пересечь полученные диапазоны.
x²-4²≥0
x>0

Диапазон второго неравенства (0;+∞), а диапазон для первого неравенства найдем, решив уравнение x²-4²=0
Воспользуемся формулой разность квадратов:
(x-4)(x+4)=0
x₁=4
x₂=-4
Коэффициент а=1, т.е. больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Значит диапазон для первого неравенства:
(-∞;-4]∪[4;+∞).
Пересекаем с диапазоном второго неравенства:
(-∞;-4]∪[4;+∞)∩(0;+∞)=[4;+∞)
Рассмотрим второй случай, когда и числитель и знаменатель меньше нуля.
x²-4²<0
4x<0

x²-4²<0
x<0
Эту систему решать не будем, а возьмем "обратные" диапазоны, т.е. для первого неравенства диапазон будет (-4;4), а для второго (-∞;0).
Пересекаем диапазоны:
(-4;4)∩(-∞;0)=(-4;0)
В итоге мы получили, что:
x/4-4/x≥0 на диапазонах (-4;0) и [4;+∞)
Следовательно:
x/4-4/x<0 на диапазонах (-∞;-4) и (0;4).

	Построим график функции y1=x/4, при x∈(-4;0) и [4;+∞) - это прямая: Выкалываем точку x=0 (из ОДЗ). X -4 0 4 Y -1 0 1
	Вторая функция: y2=4/x, при x∈(-∞;-4) и (0;4) - это гипербола: X -8 -4 1 2 4 Y -0,5 -1 4 2 1
	Объединяем графики

Только одна общая точки будет в трех случаях, в точках "перелома" графика, они отмечены на рисунке (это точки -4 и 4) и при x=0. Но x=0 - выколотая точка, поэтому этот вариант отбрасываем.

Подставим эти точки в функцию и получим значения m.
m₁=y(-4)=-1
m₂=y(4)=1
Ответ: m₁=-1 и m₂=1