На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB≠AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=32, MD=8, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
Проведем отрезки CM и MB.
∠BMC является
вписанным в окружность и опирается на дугу в 180° (так как BC - диаметр окружности).
Следовательно, ∠BMC=90° (по
теореме о вписанном угле).
Получается, что треугольник MBC -
прямоугольный.
Рассмотрим треугольники MBC и MBD.
∠BMC=∠BDM=90°
∠MBD - общий.
Следовательно, данные треугольники
подобны (по
первому признаку подобия).
Рассмотрим треугольники MBC и MDС.
∠BMC=∠MDC=90°
∠MCD - общий.
Следовательно, данные треугольники
подобны (по
первому признаку подобия).
Значит треугольник MBD подобен треугольнику MDС.
Тогда: MD/BD=CD/MD
MD2=CD*BD
82=CD*BD
64=CD*BD
Вернемся к первоначальному рисунку и рассмотрим треугольники AHE и BHD.
∠AEH=∠BDH=90°
∠AHE=∠BHD (так как это
вертикальные углы).
Следовательно, используя
теорему о сумме углов треугольника, получаем, что ∠HAE=∠HBD.
Рассмотрим треугольники ADC и BDH.
∠HAE=∠HBD (как мы уже выяснили).
∠ADC=∠BDH=90°
Следовательно, данные треугольники
подобны (по
первому признаку подобия).
Тогда:
AD/BD=DC/DH
AD*DH=BD*DC=64 (см. выше).
DH=64/AD=64/32=2
AH=AD-DH=32-2=30
Ответ: AH=30
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Сторона квадрата равна 3√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2√
В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 4.
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 85° и 30°. Найдите меньший угол параллелограмма.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии: