В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=14, BC=12.
По условию задачи AB перпендикулярна BC, следовательно перпендикулярна и AD (т.к. в
трапеции основания параллельны).
Расстояние от точки Е до прямой CD - отрезок, перпендикулярный CD и проходящий через точку Е.
Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке T.
Проведем CK параллельно AB.
AK=BС (т.к. ABKC -
прямоугольник).
KD=AD-AK=14-12=2
По
определению косинуса: cos∠CDK=KD/CD=2/CD
Рассмотрим треугольники TCB и CKD.
∠CTB=∠DCK (т.к. это
соответственные углы при параллельных прямых TA и CK)
∠TBC=∠CKD=90°
Следовательно, эти треугольники
подобны (по
первому признаку подобия).
Тогда, BC/KD=TC/CD
12/2=TC/CD
TC=6CD
По
теореме о касательно и секущей:
TE2=TD*TC=(TC+CD)*TC=(6CD+CD)6CD=7CD*6CD=42CD2
TE=CD√
Рассмотрим треугольники TEF и TAD.
∠CTB - общий
∠EFT=∠TAD=90°
Следовательно, применив
теорему о сумме углов треугольника, получаем, что ∠TEF=∠ADT (=∠CDK).
Следовательно, cos∠TEF=cos∠ADT(=cos∠CDK).
EF=TE*cos∠TEF=TE*cos∠ADT=2TE/CD=2CD√
Ответ: EF=2√
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 39 и 42, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 72°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=21, MN=14. Площадь треугольника ABC равна 27. Найдите площадь треугольника MBN.
В треугольнике ABC угол C равен 45°, AB=6√
Комментарии:
(2017-06-03 19:47:21) Администратор: Катя, я подписал в решении, чтобы стало понятней. ∠ADT - это ∠CDK, который равен 2/CD (это мы нашли ранее).
(2017-06-03 01:35:19) Катя: Объясните пожалуйста последнюю строчку в решении : почему произведение косинуса угла ADT на TE равно 2TE/CD?