Юмор

Автор: Катя
- Вовочка, у тебя в кармане сто рублей, ты попросил у отца еще сто, сколько у тебя будет д...читать далее

ОГЭ, 9-й класс. Математика: Геометрия

Задача №566 из 940. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 34AF72

Найдите тангенс угла AOB.

Решение задачи:

Вариант №1 (Прислал пользователь Евгений)
Проведем отрезок AB.
Найдем каждую сторону треугольника ABO по теореме Пифагора:
AO²=8²+1²
AO²=64+1=65
AO=√65
AB²=9²+3²
AB²=81+9=90
AB=√90
BO²=10²+5²
BO²=100+25=125
BO=√125
По теореме косинусов:
AB²=AO²+BO²-2AO*BO*cos∠AOB
(√90 )²=(√65 )²+(√125)²-2*√65*√125*cos∠AOB
90=65+125-2√65*125*cos∠AOB
-100=-2√65*5*25*cos∠AOB
50=5√325*cos∠AOB
10=√25*13*cos∠AOB
10=5√13*cos∠AOB
2=√13*cos∠AOB
cos∠AOB=2/√13
По основной тригонометрической формуле:
sin²∠AOB+cos²∠AOB=1
sin²∠AOB+(2/√13)²=1
sin²∠AOB+4/13=1
sin²∠AOB=1-4/13
sin²∠AOB=13/13-4/13
sin²∠AOB=(13-4)/13
sin²∠AOB=9/13
sin∠AOB=3/√13
tg∠AOB=sin∠AOB/cos∠AOB=(3/√13)/(2/√13)=3/2=1,5
Ответ: tg∠AOB=1,5

Вариант №2

Достроим чертеж до двух прямоугольных треугольников. Найдем тангенсы для обоих треугольников для их углов О.
1) Для синего треугольника: tgα=10/5=2
2) Для красного треугольника: tgβ=1/8=0,125
Есть тригонометрическая формула:
tg(α-β)=(tgα-tgβ)/(1+tgα*tgβ)
Вычисляем:
tg∠AOB=tg(α-β)=(2-0,125)/(1+2*0,125)=1,875/1,25=1,5
Ответ: tg∠AOB=1,5

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

(2015-02-25 13:47:48) Светлана: Можно найти через скалярное произведение векторов ОА(8;1) и ОВ(5;10),если поместить т.О в начало координат .На какой адрес можно присылать свои варианты решения?

(2015-01-19 00:12:30) Администратор: Раиса, изначально, второй вариант был единственным, но мне писали, что эта формула девятиклассникам неизвестна. Один из пользователей прислал другой вариант. Он длиннее, но зато основан на известных в девятом классе теоремах, поэтому я посчитал, что нужно показать оба варианта.

(2015-01-18 10:48:07) Раиса: Спасибо, второй вариант проще, главное, чтобы знали учащиеся формулу тангенс разности 2-х углов