Решение задачи:

Рассмотрим трапецию ACO₁O₂
Данная трапеция прямоугольная, т.к. радиусы перпендикулярны касательной AC (по свойству касательной).
Проведем O₂K параллельно AC, O₂K=AC, т.к. ACKO₂ - прямоугольник. По теореме Пифагора:
(O₁O₂)²=(O₂K)²+(KO₁)²
(R+r)²=(O₂K)²+(R-r)²
(90+45)²=(O₂K)²+(90-45)²
18225=(O₂K)²+2025
(O₂K)²=16200
O₂K=10√162=AC
Рассмотрим треугольники OAO₂ и OCO₁ (cм. Рис.1).
∠AOO₂ - общий
∠OAO₂=∠OCO₁=90°
Следовательно эти треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда, R/r=OC/OA
90/45=OC/OA=(OA+AC)/OA
2*OA=OA+10√162
OA=10√162
Из подобия этих же треугольников:
R/r=O₁0/O₂O
R/r=(O₂O+R+r)/O₂O
90/45=(O₂O+90+45)/O₂O
2(O₂O)=O₂O+135
O₂O=135
Обозначим угол ∠AOO₂ как α
cosα=OA/OO₂=10√162/135
Посмотрим на треугольники OAE и OCF.
Они прямоугольные по второму свойству хорды.
Тогда для треугольника OAE:
cosα=OE/OA
OE=OA*cosα=10√162*10√162/135=120
Для треугольника OCF:
cosα=OF/OC
OF=OC*cosα=(OA+AC)*cosα=(10√162+10√162)*10√162/135=20√162*10√162/135=200*162/135=240
EF=OF-OE=240-120=120
Ответ: EF=120