Решение задачи:

Вариант 1 Предложил Андрей Середников
Дорисуем полуокружность до полной окружности.
Продлим высоту AD до пересечения с окружностью, обозначим точку пересечения К.
Обозначим F как точку пересечения окружности и стороны AC.
BF - является высотой треугольника ABC, так как для окружности ∠BFC - вписанный угол, который опирается на дугу в 180° (BC - диаметр), следовательно ∠BFC=180°/2=90°
1) AF*AC=AM*AK (по теореме о двух секущих).
2) Рассмотрим хорду MK.
BC - перпендикуляр к MK, проходящий через центр окружности, следовательно BC - серединный перпендикуляр.
Это значит, BC делит хорду MK пополам, т.е. MD=KD=18
3) Рассмотрим треугольники AHF и ACD.
∠DAC - общий.
∠AFH=∠ADC - это прямые углы.
Следовательно, по первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.
Тогда, по определению подобия, мы можем записать:
AC/AH=AD/AF => AC*AF=AD*AH
В п. 1) мы получили равенство AF*AC=AM*AK, тогда:
AM*AK=AD*AH
AH=AM*AK/AD
Из рисунка находим:
AM=AD-MD=27-18=9
AK=AD+KD=27+18=45
Тогда:
AH=9*45/27=45/3=15
Ответ: AH=15

---

Вариант 2
Проведем отрезки CM и MB.
∠BMC является вписанным в окружность и опирается на дугу в 180° (так как BC - диаметр окружности).
Следовательно, ∠BMC=90° (по теореме о вписанном угле).
Получается, что треугольник MBC - прямоугольный.
Рассмотрим треугольники MBC и MBD.
∠BMC=∠BDM=90°
∠MBD - общий.
Следовательно, данные треугольники подобны (по первому признаку подобия).
Рассмотрим треугольники MBC и MDС.
∠BMC=∠MDC=90°
∠MCD - общий.
Следовательно, данные треугольники подобны (по первому признаку подобия).
Значит треугольник MBD подобен треугольнику MDС.
Тогда: MD/BD=CD/MD
MD²=CD*BD
18²=CD*BD
324=CD*BD
Вернемся к первоначальному рисунку и рассмотрим треугольники AHE и BHD.
∠AEH=∠BDH=90°
∠AHE=∠BHD (так как это вертикальные углы).
Следовательно, используя теорему о сумме углов треугольника, получаем, что ∠HAE=∠HBD.
Рассмотрим треугольники ADC и BDH.
∠HAE=∠HBD (как мы уже выяснили).
∠ADC=∠BDH=90°
Следовательно, данные треугольники подобны (по первому признаку подобия).
Тогда:
AD/BD=DC/DH
AD*DH=BD*DC=324 (см. выше).
DH=324/AD=324/27=12
AH=AD-DH=27-12=15
Ответ: AH=15