Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник ACP, равен 4, тангенс угла BAC равен 0,75. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Рассмотрим треугольник АРС.
По определению tgBAC=СР/АР=0,75 => CP=0,75AP
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен r=(AP+CP-AC)/2
Подставляем СР=0,75AP
2r=AP+0,75AP-AC
2r=1,75AP-AC
2*4+AC=1,75AP
AP=(8+AC)/1,75 (поставим здесь пометку 1, чуть позднее вернемся к ней)
По
теореме Пифагора AC2=AP2+CP2
AC2=AP2+(0,75AP)2
AC2=AP2(1+0,752)
AC2=AP2*(1+0,5625)
AC2=AP2*1,5625
AC=AP*1,25
Из пометки 1 подставляем AP
AC=1,25*(8+AC)/1,75
1,75AC=1,25(8+AC) сократим на 25
0,07AC=0,05(8+AC) умножим правую и левую часть уравнения на 100 (для удобства)
7AC=5(8+AC)
7AC=40+5AC
2AC=40
AC=20
Теперь рассмотрим большой треугольник АВС и проведем для него те же операции, но сразу с числами
tgBAC=BC/AC => 0,75=BC/20 => BC=0,75*20=15
По
теореме Пифагора запишем AB2=AC2+BC2
AB2=202+152
AB2=400+225=625
AB=25
Теперь все полученые данные подставляем в формулу радиуса окружности
R=(AC+BC-AB)/2
R=(20+15-25)/2
R=10/2
R=5
Ответ: R=5.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Какие из следующих утверждений верны?
1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN
и CM пересекаются в точке O, AN=27, CM=9. Найдите AO.
Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=15, DC=30, AC=39.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) У равнобедренного треугольника есть ось симметрии.
2) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
3) Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2017-03-17 01:56:14) Администратор: Евгения, есть соответствующая теорема.
(2017-03-16 10:50:32) Евгения: откуда берется это утверждение: \"Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен r=(AP+CP-AC)/2\" ?
(2015-09-19 19:08:54) Людмила: Огромное спасибо за помощь и удобный интерфейс сайта!
(2015-02-25 14:35:41) мария: спасибо за ваш сайт