Решение задачи:

Запишем Область Допустимых Значений (ОДЗ).
Так как на ноль делить нельзя, то x+1≠0, т.е. x≠-1
Упростим функцию, для этого разложим x²+3x+2 на множители. Для этого найдем корни уравнения:
x²+3x+2=0
D=3²-4*1*2=9-8=1
x₁=(-3+1)/(2*1)=-2/2=-1
x₂=(-3-1)/(2*1)=-4/2=-2
Тогда, x²+3x+2=(x-(-1))(x-(-2))
x²+3x+2=(x+1)(x+2)

График представляет из себя параболу. Коэффициент а=1, т.е. больше нуля, следовательно ветви параболы направлены вверх. Построим график по точкам:

X	-1	-2	-3	-4
Y	3	0	-1	0

Не забываем выколоть точку из ОДЗ (x≠-1 => y≠3).
Зеленым цветом прочерчены прямые, которые имеют только одну общую точку с графиком функции.
Одна прямая проходит через выколотую точку (-1;3) => m₁=3.
Вторая прямая касается вершины параболы, найдем ее координаты:
x₀=-b/(2a)=-6/2=-3
y₀(x₀)=x₀²+6x₀+8=(-3)²+6(-3)+8=-1 => m₂=-1.
Ответ: m₁=3, m₂=-1