ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №E5A864

Задача №1036 из 1084
Условие задачи:

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 66° и 84°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.

Решение задачи:

Вариант №1
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠A+∠B+∠C
180°=∠A+66°+84°
∠A=180°-66°-84°=30°
По теореме синусов:
2R=BC/sin∠A
2R=BC/sin30°=BC/(1/2)=2BC
R=BC=15
Ответ: 15

Вариант №2 (Предложил пользователь Надежда)
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠A+∠B+∠C
180°=∠A+66°+84°
∠A=180°-66°-84°=30°
∠A - это вписанный в окружность угол, следовательно, дуга, на которую он опирается, имеет вдвое большую градусную меру 2*30°=60° (по теореме о вписанном угле).

Проведем два отрезка из центра к точкам B и C, как показано на рисунке.
∠BOC - это центральный угол, следовательно, равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
Как мы выяснили ранее, градусная мера этой дуги равна 60°. Т.е. ∠BOC=60°
Рассмотрим треугольник OBC.
OB=OC=R, следовательно, данный треугольник равнобедренный.
Значит:
∠OBC=∠OCB=x (по свойству равнобедренного треугольника).
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠OBC+∠OCB+∠BOC
180°=x+x+60°
180°-60°=2x
x=60°
Т.е. все углы этого треугольника равны 60°.
Следовательно, данный треугольник равносторонний (по свойству равностороннего треугольника).
Тогда:
OB=OC=BC=15 (по определению).
Ответ: 15

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №48FE5E

На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АEB и BDC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Задача №08369A

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=24, BF=32.

Задача №FE5B5C

В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=86, SQ=43.