Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AMK.
BM -
медиана треугольника АВС,
следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника (
свойство медианы).
SABM=SCMB=SABC/2
Рассмотрим треугольник ABM.
SABK+SAMK=SABM=SABC/2
AP -
биссектриса, по
теореме о биссектрисе можно записать AM/AB=KM/BK.
По условию задачи AC втрое больше AB, следовательно, AM в 1,5 раза больше АВ (т.к. является половиной АС)
KM/BK=1,5. Т.к. площадь треугольника вычисляется по формуле S=1/2*h*a, где а-основание и h-высота,
то можем записать:
SAMK=1/2*h*KM=1/2*h*(1,5*BK),
SAMK=1/2*h*(3/2*BK)=3/2*(1/2*h*BK)=3/2*SABK (т.к. высота h для этих треугольников общая)
SABK=2/3*SAMK
SABK+SAMK=SABM=SABC/2
2/3*SAMK+SAMK=SABC/2
5/3*SAMK=SABC/2
SAMK=0,3*SABC
Как было найдено ранее, SABK=2/3*SAMK
SABK=2/3*0,3*SABC
SABK=0,2*SABC
По тому же
свойству биссектрисы для треугольника ABC получаем, что AC/AB=CP/PB
AC/AB=3 (по условию задачи), следовательно, CP=3*PB
SAPC=1/2*h*PC=1/2*h*(3*PB)=3*(1/2*h*PB)=3*SABP,
SABP+SAPC=SABC
SABP+3*SABP=SABC
SABP=SABC/4
SBKP=SABP-SABK
SBKP=SABC/4-0,2*SABC=0,25*SABC-0,2*SABC=0,05*SABC
Отношение SBKP к SAMK равно 0,05/0,3=5/30=1/6
Ответ: Отношение SBKP к SAMK равно 1/6.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
На клетчатой бумаге отмечены точки A, B и C. Площадь одной клетки равна 1. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC.
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB=14, BC=8, CD=12. Найдите AD.
Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 14√
Медиана равностороннего треугольника равна 9√
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии: