ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №3B4B4B

Решение задачи:

Вариант №1
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=136/2=68.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). S_EDC=S_EDB=(BE*OD)/2=(136*68)/2=68*68=4624
S_ABE=(BE*AO)/2=(136*68)/2=4624
Т.е. S_ABE=S_EDC=S_EDB=4624
Тогда, S_ABС=3*4624=13872
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
S_ABD=(AD*BO)/2=S_ABC/2
(136*BO)/2=13872/2
BO=13872/136=102
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB²=BO²+AO²
AB²=102²+68²
AB²=10404+4624=15028
AB=√15028=√4*3757=√4*13*289=2*17*√13=34√13
BC=2AB=2*34√13=68√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=136-102=34
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE²=AO²+OE²
AE²=68²+34²=4624+1156=5780
AE=√5780=√4*5*289=2*17*√5=34√5
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
68√13/34√13=CE/(34√5)
2=CE/(34√5)
CE=68√5
AC=AE+CE=34√5+68√5=102√5
Ответ: AB=34√13, BC=68√13, AC=102√5