ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №DDFE48

Задача №734 из 1087
Условие задачи:

Высоты AA₁ и BB₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

Решение задачи:

Проведем отрезок A₁B₁ и рассмотрим треугольники EB₁A и EA₁B.
∠A₁EB=∠B₁EA (так как они вертикальные).
∠EB₁A=∠EA₁B=90° (так как BB₁ и AA₁ - высоты).
По первому признаку подобия треугольников, рассматриваемые треугольники подобны.
Следовательно:
EB₁/EA₁=EA/EB
Рассмотрим треугольники EA₁B₁ и EAB
∠BEA=∠B₁EA₁ (так как они вертикальные).
Как мы выяснили ранее:
EB₁/EA₁=EA/EB
Умножим левую и правую части равенства на EA₁, получим:
EB₁=EA₁*EA/EB
Разделим левую и правую части на EA, получаем:
EB₁/EA=EA₁/EB
Получается, что по второму признаку подобия треугольников, треугольники EA₁B₁ и EAB подобны.
Следовательно, по определению, углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

ч.т.д.

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №219FAC

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90°, то эти две прямые параллельны.
2) В любой треугольник можно вписать окружность.
3) Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.