ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №DDFE48

Задача №734 из 1087
Условие задачи:

Высоты AA₁ и BB₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

Решение задачи:

Проведем отрезок A₁B₁ и рассмотрим треугольники EB₁A и EA₁B.
∠A₁EB=∠B₁EA (так как они вертикальные).
∠EB₁A=∠EA₁B=90° (так как BB₁ и AA₁ - высоты).
По первому признаку подобия треугольников, рассматриваемые треугольники подобны.
Следовательно:
EB₁/EA₁=EA/EB
Рассмотрим треугольники EA₁B₁ и EAB
∠BEA=∠B₁EA₁ (так как они вертикальные).
Как мы выяснили ранее:
EB₁/EA₁=EA/EB
Умножим левую и правую части равенства на EA₁, получим:
EB₁=EA₁*EA/EB
Разделим левую и правую части на EA, получаем:
EB₁/EA=EA₁/EB
Получается, что по второму признаку подобия треугольников, треугольники EA₁B₁ и EAB подобны.
Следовательно, по определению, углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

ч.т.д.

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №95DDBE

В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, СF = АM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

Задача №DABB4F

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=21, MN=14. Площадь треугольника ABC равна 27. Найдите площадь треугольника MBN.

Задача №81E850

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 7 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?