ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №DDFE48

Задача №734 из 1087
Условие задачи:

Высоты AA₁ и BB₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

Решение задачи:

Проведем отрезок A₁B₁ и рассмотрим треугольники EB₁A и EA₁B.
∠A₁EB=∠B₁EA (так как они вертикальные).
∠EB₁A=∠EA₁B=90° (так как BB₁ и AA₁ - высоты).
По первому признаку подобия треугольников, рассматриваемые треугольники подобны.
Следовательно:
EB₁/EA₁=EA/EB
Рассмотрим треугольники EA₁B₁ и EAB
∠BEA=∠B₁EA₁ (так как они вертикальные).
Как мы выяснили ранее:
EB₁/EA₁=EA/EB
Умножим левую и правую части равенства на EA₁, получим:
EB₁=EA₁*EA/EB
Разделим левую и правую части на EA, получаем:
EB₁/EA=EA₁/EB
Получается, что по второму признаку подобия треугольников, треугольники EA₁B₁ и EAB подобны.
Следовательно, по определению, углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

ч.т.д.

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №D7D925

Сторона ромба равна 20, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?