Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен 4/3. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле R=(AC+CB-AB)/2. Для этого необходимо вычислить длины всех сторон данного треугольника.
Рассмотрим треугольник ABC.
По
определению tgBAC=CB/AC=4/3 => AC=3*CB/4.
По
теореме Пифагора AB2=AC2+CB2
AB2=(3*CB/4)2+CB2
AB2=9*CB2/16+CB2
AB2=25*CB2/16
AB=5*CB/4
Необходимо вычислить CB.
По
теореме о сумме углов треугольника для треугольника ABC:
/ABC=180°-90°-/BAC
Для треугольника BCP:
/ABC=180°-90°-/BCP
Следовательно, /BAC=/BCP.
Рассмотрим треугольник BCP.
По
определению tgBCP=BP/CP=4/3 => CP=3*BP/4.
По
теореме Пифагора CB2=CP2+BP2
CB2=(3*BP/4)2+BP2
CB2=9*BP2/19+BP2
CB2=25*BP2/16
CB=5*BP/4
BP=4*CB/5
r=(BP+CP-CB)/2
2*r=BP+3*BP/4-CB
2*8=7*BP/4-CB
16=7*(4*CB/5)/4-CB
16=(7*4)*CB/(5*4)-CB
16=7*CB/5-CB
16=2*CB/5 |:2
8=CB/5
CB=8*5=40
Вычислив CB, мы можем вычислить AB и AC, указанные выше:
AB=5*CB/4=5*40/4=5*10=50
AC=3*CB/4=3*40/4=3*10=30
R=(AC+CB-AB)/2, тогда получаем:
R=(30+40-50)/2=20/2=10
Ответ: R=10.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Найдите тангенс угла А треугольника ABC, изображённого на рисунке.
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=19 и CD=22 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25, а основание равно 30. Найдите площадь этого треугольника.
Какое из следующих утверждений верно?
1) Все углы ромба равны.
2) Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
3) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2015-02-02 18:44:10) Марина: Первый способ решения приводит к верному ответу, хотя используется теорема синусов. Как известно теорема синусов связывает зависимостью стороны, синусы и радиус ОПИСАННОЙ окружности треугольника, что и видно в решении (2R=AB). А нам нужен радиус вписанной окружности.
(2015-02-01 14:19:29) Администратор: Марина, да, Вы правы, изучу как это получилось...
(2015-02-01 11:51:37) Марина: Первый способ решения приводит к верному ответу, хотя используется теорема синусов. Как известно теорема синусов связывает зависимостью стороны, синусы и радиус ОПИСАННОЙ окружности треугольника, что и видно в решении (2R=AB). А нам нужен радиус вписанной окружности.