В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=10:9. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника ABC.
BM -
медиана треугольника АВС,
следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника (
свойство медианы).
SABM=SCMB=SABC/2
Рассмотрим треугольник ABM и проведем
высоту из вершины А.
Высота h так же является
высотой для треугольников ABK и AKM.
Значит их площади:
SABK=h*BK*1/2
SAKM=h*KM*1/2
Найдем отношение этих площадей:
SABK/SAKM=(h*BK*1/2)/(h*KM*1/2)
SABK/SAKM=BK/KM=10/9
Т.е.
SABK=SAKM*10/9
SABK+SAKM=SABM=SABC/2
SAKM*10/9+SAKM=SABC/2
SAKM*19/9=SABC/2
SAKM=(SABC/2)*9/19
SAKM=9*SABC/38
Проведем отрезок CK и рассмотрим треугольники AKM и CKM.
Проведем
высоту KF. Эта
высота является общей для обоих этих треугольников. Площади этих треугольников:
SAKM=KF*AM*1/2
SCKM=KF*CM*1/2
KF=CM (так как BM-
медиана), следовательно SAKM=SCKM=9*SABC/38
Тогда SCKB=SCMB-SCKM=SABC/2-9*SABC/38=19*SABC/38-9*SABC/38=10*SABC/38
Вернемся к первоначальному рисунку и проведем отрезок MR, параллельный AP.
Для треугольника APC MR -
средняя линия, так как проходит через середину AC и параллельна AP.
Следовательно, по
теореме о средней линии, PR=RC.
Рассмотрим треугольники MBR и KBP.
∠MBR - общий для обоих треугольников.
∠BKP=∠BMR, так как они
соответственные (для параллельных прямых KP и MR и секущей MB).
Значит, по
первому признаку, данные треугольники
подобны.
Следовательно:
BM/BK=BR/BP
(BK+KM)/BK=(BP+PR)/BP
1+KM/BK=1+PR/BP
KM/BK=PR/BP=9/10 (по условию задачи)
Проведем
высоту KD, как показано на рисунке.
KD - является
высотой для треугольников KBP и KCP.
SKBP=KD*BP*1/2
SKCP=KD*CP*1/2=KD*(PR+CR)*1/2=KD*(2PR)*1/2
Найдем отношение этих площадей:
SKBP/SKCP=(KD*BP*1/2)/(KD*(2PR)*1/2)
SKBP/SKCP=BP/(2PR)=(BP/PR)/2=(10/9)/2=5/9
SKBP=SKCP*5/9
SCKB=10*SABC/38=SKBP+SKCP=SKCP*5/9+SKCP=SKCP*5/9+SKCP*9/9=SKCP*14/9
10*SABC/38=SKCP*14/9
SKCP = SABC*(10/38)*(9/14) = SABC*90/(38*14)
SKPCM = SCKM+SKCP = SABC*9/38+SABC*90/(38*14) = SABC*126/(38*14)+SABC*90/(38*14) = SABC*216/(38*14) = SABC*216/(38*14) = SABC*108/(19*14) = SABC*54/(19*7) = SABC*54/133
SKPCM/SABC = (SABC*54/133)/SABC = 54/133
Ответ: 54/133
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что треугольники BEF и DFE равны.
Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=122° и ∠ACB=47°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 32.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка.
2) В любой треугольник можно вписать окружность.
3) Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2015-01-13 18:55:19) Администратор: Чуть выше отношения мы записали чему равны площади обоих треугольников и разделили одну площадь на другую. Получили, что отношение площадей равно BP/(2PR) или (BP/PR)/2. А еще раньше в решении мы выяснили, что KM/BK=PR/BP=9/10 => BP/PR=10/9 => (BP/PR)/2=(10/9)/2=5/9
(2015-01-13 18:55:19) Администратор: Чуть выше отношения мы записали чему равны площади обоих треугольников и разделили одну площадь на другую. Получили, что отношение площадей равно BP/(2PR) или (BP/PR)/2. А еще раньше в решении мы выяснили, что KM/BK=PR/BP=9/10 => BP/PR=10/9 => (BP/PR)/2=(10/9)/2=5/9
(2015-01-13 14:27:00) : как вы определили что треугольник BKP относится к треугольнику KCP как 5 к 9
(2015-01-13 14:24:55) : объясните как решается задача