ОГЭ, Математика. Геометрия: Задача №CF2D65 | Ответ-Готов 



Юмор

Автор: Таська
Так выглядит современная программа обучения.
...читать далее

ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №CF2D65

Задача №594 из 1084
Условие задачи:

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=10:9. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника ABC.

Решение задачи:

BM - медиана треугольника АВС, следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника ( свойство медианы).
SABM=SCMB=SABC/2
Рассмотрим треугольник ABM и проведем высоту из вершины А.
Высота h так же является высотой для треугольников ABK и AKM.
Значит их площади:
SABK=h*BK*1/2
SAKM=h*KM*1/2
Найдем отношение этих площадей:
SABK/SAKM=(h*BK*1/2)/(h*KM*1/2)
SABK/SAKM=BK/KM=10/9
Т.е. SABK=SAKM*10/9
SABK+SAKM=SABM=SABC/2
SAKM*10/9+SAKM=SABC/2
SAKM*19/9=SABC/2
SAKM=(SABC/2)*9/19
SAKM=9*SABC/38
Проведем отрезок CK и рассмотрим треугольники AKM и CKM.
Проведем высоту KF. Эта высота является общей для обоих этих треугольников. Площади этих треугольников:
SAKM=KF*AM*1/2
SCKM=KF*CM*1/2
KF=CM (так как BM- медиана), следовательно SAKM=SCKM=9*SABC/38
Тогда SCKB=SCMB-SCKM=SABC/2-9*SABC/38=19*SABC/38-9*SABC/38=10*SABC/38
Вернемся к первоначальному рисунку и проведем отрезок MR, параллельный AP.
Для треугольника APC MR - средняя линия, так как проходит через середину AC и параллельна AP.
Следовательно, по теореме о средней линии, PR=RC.
Рассмотрим треугольники MBR и KBP.
∠MBR - общий для обоих треугольников.
∠BKP=∠BMR, так как они соответственные (для параллельных прямых KP и MR и секущей MB).
Значит, по первому признаку, данные треугольники подобны.
Следовательно:
BM/BK=BR/BP
(BK+KM)/BK=(BP+PR)/BP
1+KM/BK=1+PR/BP
KM/BK=PR/BP=9/10 (по условию задачи)
Проведем высоту KD, как показано на рисунке.
KD - является высотой для треугольников KBP и KCP.
SKBP=KD*BP*1/2
SKCP=KD*CP*1/2=KD*(PR+CR)*1/2=KD*(2PR)*1/2
Найдем отношение этих площадей:
SKBP/SKCP=(KD*BP*1/2)/(KD*(2PR)*1/2)
SKBP/SKCP=BP/(2PR)=(BP/PR)/2=(10/9)/2=5/9
SKBP=SKCP*5/9
SCKB=10*SABC/38=SKBP+SKCP=SKCP*5/9+SKCP=SKCP*5/9+SKCP*9/9=SKCP*14/9
10*SABC/38=SKCP*14/9
SKCP = SABC*(10/38)*(9/14) = SABC*90/(38*14)
SKPCM = SCKM+SKCP = SABC*9/38+SABC*90/(38*14) = SABC*126/(38*14)+SABC*90/(38*14) = SABC*216/(38*14) = SABC*216/(38*14) = SABC*108/(19*14) = SABC*54/(19*7) = SABC*54/133
SKPCM/SABC = (SABC*54/133)/SABC = 54/133
Ответ: 54/133

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'


Другие задачи из этого раздела



Задача №7F81F4

Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 15 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 8 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.



Задача №4BB263

Укажите номера верных утверждений.
1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) Вертикальные углы равны.
3) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.



Задача №AE8E84

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 2 м, высота фонаря 4 м?



Задача №87FC25

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 48, сторона BC равна 57, сторона AC равна 72. Найдите MN.



Задача №510B5D

В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=12, sin∠ABC=1/4. Найдите площадь треугольника ABC.

Комментарии:


(2015-01-13 18:55:19) Администратор: Чуть выше отношения мы записали чему равны площади обоих треугольников и разделили одну площадь на другую. Получили, что отношение площадей равно BP/(2PR) или (BP/PR)/2. А еще раньше в решении мы выяснили, что KM/BK=PR/BP=9/10 => BP/PR=10/9 => (BP/PR)/2=(10/9)/2=5/9
(2015-01-13 18:55:19) Администратор: Чуть выше отношения мы записали чему равны площади обоих треугольников и разделили одну площадь на другую. Получили, что отношение площадей равно BP/(2PR) или (BP/PR)/2. А еще раньше в решении мы выяснили, что KM/BK=PR/BP=9/10 => BP/PR=10/9 => (BP/PR)/2=(10/9)/2=5/9
(2015-01-13 14:27:00) : как вы определили что треугольник BKP относится к треугольнику KCP как 5 к 9
(2015-01-13 14:24:55) : объясните как решается задача

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X

Значение не введено

X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:


Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2021. Все права защищены. Яндекс.Метрика