ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №0E3274

Решение задачи:

Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=92/2=46.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). S_EDC=S_EDB=(BE*OD)/2=(92*46)/2=46*46=2116
S_ABE=(BE*AO)/2=(92*46)/2=2116
Т.е. S_ABE=S_EDC=S_EDB=2116
Тогда, S_ABС=3*2116=6348
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
S_ABD=(AD*BO)/2=S_ABC/2
(92*BO)/2=6348/2
BO=6348/92=69
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB²=BO²+AO²
AB²=69²+46²
AB²=4761+2116=6877
AB=√6877= √13*529=23√13
BC=2AB=2*23√13=46√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=92-69=23
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE²=AO²+OE²
AE²=46²+23²=2116+529=2645
AE=√2645=√529*5=23√5
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
46√13/23√13=CE/(23√5)
2=CE/(23√5)
CE=46√5
AC=AE+CE=23√5+46√5=69√5
Ответ: AB=23√13, BC=46√13, AC=69√5